Страница 134 номер 678, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\left(\frac{n-8}{n+8}\right)^3 : \frac{7n^2 - 112n + 448}{n^3 + 16n^2 + 64n} \cdot \frac{7}{n}\) при \(n = -1{,}6\).
\[\begin{aligned} 7n^2 - 112n + 448 &= 7(n^2 - 16n + 64) = 7(n - 8)^2; \\ n^3 + 16n^2 + 64n &= n(n^2 + 16n + 64) = n(n + 8)^2. \end{aligned}\] При \(n = -1{,}6\) числа \(n\), \(n + 8 = 6{,}4\) и \(n - 8 = -9{,}6\) отличны от нуля, поэтому знаменатели \(n + 8\), \(n(n + 8)^2\), \(n\) и числитель \(7(n - 8)^2\) делителя не обращаются в нуль — выражение имеет смысл.
Сократим на \(7n(n - 8)^2(n + 8)^2\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{n - 8}{n + 8}\right)^3 : \frac{7n^2 - 112n + 448}{n^3 + 16n^2 + 64n} \cdot \frac{7}{n} = {} \\ &= \frac{(n - 8)^3}{(n + 8)^3} \cdot \frac{n(n + 8)^2}{7(n - 8)^2} \cdot \frac{7}{n} = {} \\ &= \frac{(n - 8)^3 \cdot n(n + 8)^2 \cdot 7}{(n + 8)^3 \cdot 7(n - 8)^2 \cdot n} = \frac{n - 8}{n + 8}. \end{aligned}\] При \(n = -1{,}6\): \[\frac{n - 8}{n + 8} = \frac{-1{,}6 - 8}{-1{,}6 + 8} = \frac{-9{,}6}{6{,}4} = -\frac{96}{64} = -1{,}5.\]
Ответ: \(-1{,}5\).
Найдите значение выражения \(\left(\frac{n-8}{n+8}\right)^3 : \frac{7n^2 - 112n + 448}{n^3 + 16n^2 + 64n} \cdot \frac{7}{n}\) при \(n = -1{,}6\).
Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель за скобки и применив формулы квадрата разности и квадрата суммы: \[\begin{aligned} 7n^2 - 112n + 448 &= 7(n^2 - 16n + 64) = 7(n - 8)^2; \\ n^3 + 16n^2 + 64n &= n(n^2 + 16n + 64) = n(n + 8)^2. \end{aligned}\] При \(n = -1{,}6\) числа \(n\), \(n + 8 = 6{,}4\) и \(n - 8 = -9{,}6\) отличны от нуля. Значит, знаменатели \(n + 8\), \(n(n + 8)^2\), \(n\) и числитель \(7(n - 8)^2\) делителя не обращаются в нуль, и выражение имеет смысл.
Заменим деление на вторую дробь умножением на обратную ей дробь, перемножим числители и знаменатели и сократим получившуюся дробь на общий множитель \(7n(n - 8)^2(n + 8)^2\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{n - 8}{n + 8}\right)^3 : \frac{7n^2 - 112n + 448}{n^3 + 16n^2 + 64n} \cdot \frac{7}{n} = {} \\ &= \frac{(n - 8)^3}{(n + 8)^3} \cdot \frac{n(n + 8)^2}{7(n - 8)^2} \cdot \frac{7}{n} = {} \\ &= \frac{(n - 8)^3 \cdot n(n + 8)^2 \cdot 7}{(n + 8)^3 \cdot 7(n - 8)^2 \cdot n} = \frac{n - 8}{n + 8}. \end{aligned}\] Подставим \(n = -1{,}6\) в получившееся выражение: \[\frac{n - 8}{n + 8} = \frac{-1{,}6 - 8}{-1{,}6 + 8} = \frac{-9{,}6}{6{,}4} = -\frac{96}{64} = -1{,}5.\]
Ответ: \(-1{,}5\).
