Страница 134 номер 677, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\frac{b^2 + a^2 + 2ab}{b^2 + ab + 8b + 8a} : \frac{3b^2 + 3ab - 24b - 24a}{b^2 - 64}\).
\[\begin{aligned} b^2 + a^2 + 2ab &= (a + b)^2; \\ b^2 + ab + 8b + 8a &= b(a + b) + 8(a + b) = (a + b)(b + 8); \\ 3b^2 + 3ab - 24b - 24a &= 3b(a + b) - 24(a + b) = 3(a + b)(b - 8); \\ b^2 - 64 &= (b - 8)(b + 8). \end{aligned}\] Сократим на \((a + b)^2(b - 8)(b + 8)\): \[\begin{aligned} &\frac{b^2 + a^2 + 2ab}{b^2 + ab + 8b + 8a} : \frac{3b^2 + 3ab - 24b - 24a}{b^2 - 64} = {} \\ &= \frac{(a + b)^2}{(a + b)(b + 8)} \cdot \frac{(b - 8)(b + 8)}{3(a + b)(b - 8)} = {} \\ &= \frac{(a + b)^2(b - 8)(b + 8)}{(a + b)(b + 8) \cdot 3(a + b)(b - 8)} = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
Упростите выражение \(\frac{b^2 + a^2 + 2ab}{b^2 + ab + 8b + 8a} : \frac{3b^2 + 3ab - 24b - 24a}{b^2 - 64}\).
Разложим на множители числители и знаменатели дробей, применив формулу квадрата суммы, способ группировки и формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} b^2 + a^2 + 2ab &= (a + b)^2; \\ b^2 + ab + 8b + 8a &= b(a + b) + 8(a + b) = (a + b)(b + 8); \\ 3b^2 + 3ab - 24b - 24a &= 3b(a + b) - 24(a + b) = 3(a + b)(b - 8); \\ b^2 - 64 &= (b - 8)(b + 8). \end{aligned}\] Разделим первую дробь на вторую, умножив её на дробь, обратную второй, и сократим результат на общий множитель \((a + b)^2(b - 8)(b + 8)\): \[\begin{aligned} &\frac{b^2 + a^2 + 2ab}{b^2 + ab + 8b + 8a} : \frac{3b^2 + 3ab - 24b - 24a}{b^2 - 64} = {} \\ &= \frac{(a + b)^2}{(a + b)(b + 8)} \cdot \frac{(b - 8)(b + 8)}{3(a + b)(b - 8)} = {} \\ &= \frac{(a + b)^2(b - 8)(b + 8)}{(a + b)(b + 8) \cdot 3(a + b)(b - 8)} = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{1}{3}\).
