Страница 134 номер 679, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите тождество: а) \(\frac{50y}{12y+7x} = \frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2}\); б) \(\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}\).
а) Преобразуем правую часть (\(0{,}49x^2 = (0{,}7x)^2\), \(1{,}44y^2 = (1{,}2y)^2\)): \[\begin{aligned} 3{,}5xy - 6y^2 &= 5y(0{,}7x - 1{,}2y); \\ 0{,}49x^2 - 1{,}44y^2 &= (0{,}7x - 1{,}2y)(0{,}7x + 1{,}2y). \end{aligned}\] Сократим на \(0{,}7x - 1{,}2y\), затем умножим числитель и знаменатель на 10: \[\begin{aligned} &\frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2} = \frac{5y(0{,}7x - 1{,}2y)}{(0{,}7x - 1{,}2y)(0{,}7x + 1{,}2y)} = {} \\ &= \frac{5y}{0{,}7x + 1{,}2y} = \frac{50y}{7x + 12y} = \frac{50y}{12y + 7x}. \end{aligned}\] Правая часть преобразована в левую, значит, равенство является тождеством.
б) \[\begin{aligned} &\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 - 8 = {} \\ &= x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}. \end{aligned}\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство является тождеством.
Ответ: а) тождество \(\frac{50y}{12y + 7x} = \frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2}\) доказано; б) тождество \(\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}\) доказано.
Докажите тождество: а) \(\frac{50y}{12y+7x} = \frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2}\); б) \(\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}\).
а) Преобразуем правую часть равенства. Вынесем в её числителе общий множитель \(5y\) за скобки, а знаменатель разложим на множители по формуле разности квадратов, так как \(0{,}49x^2 = (0{,}7x)^2\) и \(1{,}44y^2 = (1{,}2y)^2\): \[\begin{aligned} 3{,}5xy - 6y^2 &= 5y(0{,}7x - 1{,}2y); \\ 0{,}49x^2 - 1{,}44y^2 &= (0{,}7x - 1{,}2y)(0{,}7x + 1{,}2y). \end{aligned}\] Сократим дробь на общий множитель \(0{,}7x - 1{,}2y\), затем умножим её числитель и знаменатель на 10: \[\begin{aligned} &\frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2} = \frac{5y(0{,}7x - 1{,}2y)}{(0{,}7x - 1{,}2y)(0{,}7x + 1{,}2y)} = {} \\ &= \frac{5y}{0{,}7x + 1{,}2y} = \frac{50y}{7x + 12y} = \frac{50y}{12y + 7x}. \end{aligned}\] Правая часть преобразована в левую, значит, равенство является тождеством.
б) Преобразуем левую часть равенства, применив формулу квадрата суммы: \[\begin{aligned} &\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 - 8 = {} \\ &= x^2 + 8 + \frac{16}{x^2} - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}. \end{aligned}\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство является тождеством.
Ответ: а) тождество \(\frac{50y}{12y + 7x} = \frac{3{,}5xy - 6y^2}{0{,}49x^2 - 1{,}44y^2}\) доказано; б) тождество \(\left(x + \frac{4}{x}\right)^2 - 8 = x^2 + \frac{16}{x^2}\) доказано.
