Страница 134 номер 684, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + 3x - 70 = 0\); б) \(x^2 - 14 = 5x\); в) \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\).
а) Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = 3\) и \(c = -70\). \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(289 = 17^2\), поэтому \(\sqrt{D} = 17\): \[\begin{aligned} x &= \frac{-3 - 17}{2} = -10; \\ x &= \frac{-3 + 17}{2} = 7. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} x^2 - 14 &= 5x; \\ x^2 - 5x - 14 &= 0. \end{aligned}\] Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = -14\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.\] Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9\): \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 9}{2} = -2; \\ x &= \frac{5 + 9}{2} = 7. \end{aligned}\]
в) Пусть \(x^2 = t\), где \(t \geqslant 0\), так как квадрат числа неотрицателен. Уравнение примет вид \[t^2 - 8t - 9 = 0.\] Сумма чисел \(-1\) и 9 равна 8, а их произведение равно \(-9\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 9.
Значение \(t = -1\) не подходит, так как \(t = x^2 \geqslant 0\): уравнение \(x^2 = -1\) корней не имеет. При \(t = 9\) получаем \(x^2 = 9\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\).
Ответ: а) \(-10\); \(7\); б) \(-2\); \(7\); в) \(-3\); \(3\).
Решите уравнение: а) \(x^2 + 3x - 70 = 0\); б) \(x^2 - 14 = 5x\); в) \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\).
а) Выпишем коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = 3\) и \(c = -70\). \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня. Поскольку \(289 = 17^2\), получаем, что \(\sqrt{D} = 17\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{-3 - 17}{2} = -10; \\ x &= \frac{-3 + 17}{2} = 7. \end{aligned}\]
б) Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и запишем их в порядке убывания степеней переменной: \[\begin{aligned} x^2 - 14 &= 5x; \\ x^2 - 5x - 14 &= 0. \end{aligned}\] Выпишем коэффициенты получившегося квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = -14\). \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня; \(\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9\). Найдём корни по формулам: \[\begin{aligned} x &= \frac{5 - 9}{2} = -2; \\ x &= \frac{5 + 9}{2} = 7. \end{aligned}\]
в) Уравнение \(x^4 - 8x^2 - 9 = 0\) биквадратное. Сделаем замену переменной \(x^2 = t\). Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому новая переменная может принимать только неотрицательные значения: \(t \geqslant 0\). Уравнение примет вид \[t^2 - 8t - 9 = 0.\] Сумма чисел \(-1\) и 9 равна 8, а их произведение равно \(-9\), поэтому по теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа \(-1\) и 9. Значение \(t = -1\) не подходит, так как \(t = x^2 \geqslant 0\): уравнение \(x^2 = -1\) корней не имеет. Поскольку \(x^2 = t\), при \(t = 9\) получаем \(x^2 = 9\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\).
Ответ: а) \(-10\); \(7\); б) \(-2\); \(7\); в) \(-3\); \(3\).
