Страница 141 номер 710, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2-9a^2}{(x-9)(x+9)} = 0\) не имеет корней?
Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} x^2 - 9a^2 = 0, \\ (x - 9)(x + 9) \neq 0. \end{cases}\] Система не имеет решений в двух случаях: если уравнение \(x^2 - 9a^2 = 0\) не имеет корней или если каждый его корень является корнем знаменателя, то есть равен \(-9\) или \(9\).
\(x^2 - 9a^2 = (x - 3a)(x + 3a)\), поэтому при любом \(a\) уравнение \(x^2 - 9a^2 = 0\) имеет корни \(-3a\) и \(3a\), и первый случай невозможен.
При \(a = 0\) корни совпадают: уравнение \(x^2 = 0\) имеет единственный корень \(0\), который не является корнем знаменателя: \((0 - 9)(0 + 9) = -81\). Значит, при \(a = 0\) уравнение имеет корень \(0\), и это значение параметра не подходит.
При \(a \neq 0\) корни \(-3a\) и \(3a\) различны, и корнями знаменателя должны быть оба: \(3a\) равно \(9\) или \(-9\), тогда \(-3a\) равно \(-9\) или \(9\) соответственно. Из \(3a = 9\) и \(3a = -9\) получаем \(a = 3\) и \(a = -3\).
Проверка: при \(a = -3\) и при \(a = 3\) получаем \(9a^2 = 81\) и уравнение \(\frac{x^2 - 81}{(x - 9)(x + 9)} = 0\); корни числителя \(-9\) и \(9\) обращают знаменатель в нуль, поэтому корней нет.
Ответ: при \(a = -3\); \(a = 3\).
При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2-9a^2}{(x-9)(x+9)} = 0\) не имеет корней?
Уравнение равносильно системе
\[\begin{cases} x^2 - 9a^2 = 0, \\ (x - 9)(x + 9) \neq 0. \end{cases}\]
Эта система не имеет решений в двух случаях:
- если уравнение \(x^2 - 9a^2 = 0\) не имеет корней;
- если каждый корень уравнения \(x^2 - 9a^2 = 0\) является корнем знаменателя, то есть равен \(-9\) или \(9\).
Разложим левую часть уравнения \(x^2 - 9a^2 = 0\) на множители по формуле разности квадратов: \(x^2 - 9a^2 = (x - 3a)(x + 3a)\). Значит, при любом значении \(a\) это уравнение имеет корни \(-3a\) и \(3a\), и первый случай невозможен.
При \(a = 0\) эти корни совпадают: уравнение \(x^2 = 0\) имеет единственный корень \(0\), который не является корнем знаменателя: \((0 - 9)(0 + 9) = -81\). Значит, при \(a = 0\) исходное уравнение имеет корень \(0\), и это значение параметра не подходит.
При \(a \neq 0\) числа \(-3a\) и \(3a\) различны, и корнями знаменателя должны быть оба. Число \(3a\) должно быть равно \(9\) или \(-9\); тогда противоположное ему число \(-3a\) равно \(-9\) или \(9\) соответственно, то есть тоже является корнем знаменателя. Из равенств \(3a = 9\) и \(3a = -9\) получаем \(a = 3\) и \(a = -3\).
Проверка: при \(a = -3\) и при \(a = 3\) получаем \(9a^2 = 81\), и уравнение принимает вид \(\frac{x^2 - 81}{(x - 9)(x + 9)} = 0\). Корни числителя \(-9\) и \(9\) обращают знаменатель в нуль, поэтому корней у уравнения нет.
Ответ: при \(a = -3\); \(a = 3\).
