Страница 140 номер 701, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{3x+14}{x} = 10\); б) \(\dfrac{2y-3}{y-2} = \dfrac{4y+1}{5y}\); в) \(\dfrac{x-5}{x^2-25} = 0\); г) \(\dfrac{-x^2+2x-8}{x^2-1} = 0\).
а) Уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x + 14 = 10x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: \[\begin{aligned} 3x + 14 &= 10x; \\ 3x - 10x &= -14; \\ -7x &= -14; \qquad | : (-7) \\ x &= 2. \end{aligned}\] При \(x = 2\) знаменатель \(x\) не равен 0, следовательно, исходное уравнение имеет корень 2.
б) Общий знаменатель — \(5y(y - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{2y - 3}{y - 2} - \frac{4y + 1}{5y} &= 0; \\ \frac{5y(2y - 3) - (4y + 1)(y - 2)}{5y(y - 2)} &= 0; \\ \frac{10y^2 - 15y - 4y^2 + 7y + 2}{5y(y - 2)} &= 0; \\ \frac{6y^2 - 8y + 2}{5y(y - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Корни числителя: \[\begin{aligned} 6y^2 - 8y + 2 &= 0; \qquad | : 2 \\ 3y^2 - 4y + 1 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} y_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}; \\ y_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1. \end{aligned}\] Знаменатели исходного уравнения \(y - 2\) и \(5y\) при \(y = \frac{1}{3}\) равны \(-\frac{5}{3}\) и \(\frac{5}{3}\), а при \(y = 1\) — \(-1\) и 5, то есть не обращаются в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
в) Корень числителя \(x - 5\) — число 5. При \(x = 5\) знаменатель \(x^2 - 25\) равен \(5^2 - 25 = 0\), то есть обращается в нуль, значит, 5 не является корнем уравнения. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
г) Корни числителя: \[\begin{aligned} -x^2 + 2x - 8 &= 0; \\ D &= 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 4 - 32 = -28. \end{aligned}\] Дискриминант отрицателен, значит, числитель не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(2\); б) \(\frac{1}{3}\); \(1\); в) решений нет; г) решений нет.
Решите уравнение: а) \(\dfrac{3x+14}{x} = 10\); б) \(\dfrac{2y-3}{y-2} = \dfrac{4y+1}{5y}\); в) \(\dfrac{x-5}{x^2-25} = 0\); г) \(\dfrac{-x^2+2x-8}{x^2-1} = 0\).
а) Это уравнение равносильно системе \[\begin{cases} 3x + 14 = 10x, \\ x \neq 0. \end{cases}\] Решим уравнение системы: перенесём слагаемые с переменной в левую часть, а число — в правую, и разделим обе части на \(-7\): \[\begin{aligned} 3x + 14 &= 10x; \\ 3x - 10x &= -14; \\ -7x &= -14; \qquad | : (-7) \\ x &= 2. \end{aligned}\] При \(x = 2\) знаменатель \(x\) не равен 0, следовательно, исходное уравнение имеет корень 2.
б) Перенесём дробь из правой части уравнения в левую и приведём дроби к общему знаменателю \(5y(y - 2)\): \[\begin{aligned} \frac{2y - 3}{y - 2} - \frac{4y + 1}{5y} &= 0; \\ \frac{5y(2y - 3) - (4y + 1)(y - 2)}{5y(y - 2)} &= 0; \\ \frac{10y^2 - 15y - 4y^2 + 7y + 2}{5y(y - 2)} &= 0; \\ \frac{6y^2 - 8y + 2}{5y(y - 2)} &= 0. \end{aligned}\] Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдём корни числителя: разделим обе части уравнения \(6y^2 - 8y + 2 = 0\) на 2 и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} 6y^2 - 8y + 2 &= 0; \qquad | : 2 \\ 3y^2 - 4y + 1 &= 0; \\ D &= (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня: \[\begin{aligned} y_1 &= \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}; \\ y_2 &= \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1. \end{aligned}\] Знаменатели исходного уравнения \(y - 2\) и \(5y\) при \(y = \frac{1}{3}\) равны \(-\frac{5}{3}\) и \(\frac{5}{3}\), а при \(y = 1\) — \(-1\) и 5, то есть не обращаются в нуль. Следовательно, оба числа являются корнями исходного уравнения.
в) Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Корнем числителя \(x - 5\) является число 5. При \(x = 5\) знаменатель \(x^2 - 25\) равен \(5^2 - 25 = 0\), то есть обращается в нуль, значит, 5 не является корнем уравнения. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
г) Дробь может равняться нулю, только если её числитель равен нулю. Найдём корни числителя — решим уравнение \(-x^2 + 2x - 8 = 0\): \[D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-8) = 4 - 32 = -28.\] Дискриминант отрицателен, значит, числитель не имеет корней. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: а) \(2\); б) \(\frac{1}{3}\); \(1\); в) решений нет; г) решений нет.
