Страница 140 номер 699, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x-1}{x+8} = 0\); б) \(\dfrac{x^2+6x-7}{x^2-2x+1} = 0\); в) \(\dfrac{(x-5)^6(x-9)}{(x-5)^4} = 0\).
а) Корень числителя \(x - 1\) — число 1. При \(x = 1\) знаменатель \(x + 8\) равен 9 и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень 1.
б) Корни числителя \(x^2 + 6x - 7\) — числа \(-7\) и 1: \(-7 + 1 = -6\), \((-7) \cdot 1 = -7\).
Знаменатель \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\) при \(x = 1\) обращается в нуль, значит, 1 не является корнем исходного уравнения. При \(x = -7\) знаменатель равен \((-7 - 1)^2 = 64\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-7\).
в) Корни числителя \((x - 5)^6(x - 9)\) — числа 5 и 9.
При \(x = 5\) знаменатель \((x - 5)^4\) обращается в нуль, значит, 5 не является корнем исходного уравнения. Сокращать дробь на \((x - 5)^4\) нельзя: этот многочлен имеет корень 5, и сокращение изменило бы набор корней уравнения.
При \(x = 9\) знаменатель равен \(4^4 = 256\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень 9.
Ответ: а) \(1\); б) \(-7\); в) \(9\).
Решите уравнение: а) \(\dfrac{x-1}{x+8} = 0\); б) \(\dfrac{x^2+6x-7}{x^2-2x+1} = 0\); в) \(\dfrac{(x-5)^6(x-9)}{(x-5)^4} = 0\).
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому решения каждого уравнения — корни числителя, которые не являются корнями знаменателя.
а) Корнем числителя \(x - 1\) является число 1. При \(x = 1\) знаменатель \(x + 8\) равен 9 и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень 1.
б) По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 + 6x - 7 = 0\) являются числа \(-7\) и 1: \(-7 + 1 = -6\), \((-7) \cdot 1 = -7\). Значит, корни числителя — числа \(-7\) и 1.
Знаменатель \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\) при \(x = 1\) обращается в нуль, значит, 1 не является корнем исходного уравнения. При \(x = -7\) знаменатель равен \((-7 - 1)^2 = 64\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень \(-7\).
в) Числитель \((x - 5)^6(x - 9)\) равен нулю, когда \(x - 5 = 0\) или \(x - 9 = 0\). Значит, корни числителя — числа 5 и 9.
При \(x = 5\) знаменатель \((x - 5)^4\) обращается в нуль, значит, 5 не является корнем исходного уравнения. Сокращать дробь на \((x - 5)^4\) нельзя: этот многочлен имеет корень 5, и сокращение изменило бы набор корней уравнения.
При \(x = 9\) знаменатель равен \(4^4 = 256\) и не обращается в нуль, значит, исходное уравнение имеет корень 9.
Ответ: а) \(1\); б) \(-7\); в) \(9\).
