Страница 134 номер 681, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Докажите тождество \(\frac{5}{a^2-5a} + \frac{a^2}{a-5} = a + 5 + \frac{25a+5}{a^2-5a}\).
Общий знаменатель обеих частей — \(a^2 - 5a = a(a - 5)\).
Левая часть: \[\frac{5}{a^2 - 5a} + \frac{a^2}{a - 5} = \frac{5}{a(a - 5)} + \frac{a^2 \cdot a}{a(a - 5)} = \frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}.\] Правая часть: \[\begin{aligned} &a + 5 + \frac{25a + 5}{a^2 - 5a} = \frac{(a + 5) \cdot a(a - 5) + 25a + 5}{a(a - 5)} = {} \\ &= \frac{a(a^2 - 25) + 25a + 5}{a(a - 5)} = \frac{a^3 - 25a + 25a + 5}{a(a - 5)} = \frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}. \end{aligned}\] Обе части равенства преобразованы в одну и ту же дробь \(\frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}\), значит, равенство является тождеством.
Ответ: тождество \(\frac{5}{a^2 - 5a} + \frac{a^2}{a - 5} = a + 5 + \frac{25a + 5}{a^2 - 5a}\) доказано.
Докажите тождество \(\frac{5}{a^2-5a} + \frac{a^2}{a-5} = a + 5 + \frac{25a+5}{a^2-5a}\).
Разложим на множители знаменатель: \(a^2 - 5a = a(a - 5)\). Преобразуем каждую часть равенства в рациональную дробь со знаменателем \(a(a - 5)\).
Преобразуем левую часть: \[\frac{5}{a^2 - 5a} + \frac{a^2}{a - 5} = \frac{5}{a(a - 5)} + \frac{a^2 \cdot a}{a(a - 5)} = \frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}.\] Преобразуем правую часть; произведение \((a + 5)(a - 5)\) раскроем по формуле разности квадратов: \[\begin{aligned} &a + 5 + \frac{25a + 5}{a^2 - 5a} = \frac{(a + 5) \cdot a(a - 5) + 25a + 5}{a(a - 5)} = {} \\ &= \frac{a(a^2 - 25) + 25a + 5}{a(a - 5)} = \frac{a^3 - 25a + 25a + 5}{a(a - 5)} = \frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}. \end{aligned}\] Обе части равенства преобразованы в одну и ту же дробь \(\frac{a^3 + 5}{a(a - 5)}\), значит, равенство является тождеством.
Ответ: тождество \(\frac{5}{a^2 - 5a} + \frac{a^2}{a - 5} = a + 5 + \frac{25a + 5}{a^2 - 5a}\) доказано.
