Страница 140 номер 705, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \((\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13})\); б) \(\sqrt{70 \cdot 45 \cdot 14}\); в) \(\dfrac{300}{(2\sqrt{5})^2}\); г) \(\sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4}\).
а) \[(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6.\]
б) \(70 \cdot 45 \cdot 14 = 7 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 = 49 \cdot 9 \cdot 100\): \[\sqrt{70 \cdot 45 \cdot 14} = \sqrt{49 \cdot 9 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210.\]
в) \[\frac{300}{(2\sqrt{5})^2} = \frac{300}{4 \cdot 5} = \frac{300}{20} = 15.\]
г) \(7^2 > 0\) и \((7^2)^2 = 7^4\): \[\begin{aligned} &\sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4} = {} \\ &= \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^4} = 6 \cdot 5 \cdot 7^2 = 1470. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(210\); в) \(15\); г) \(1470\).
Найдите значение выражения: а) \((\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13})\); б) \(\sqrt{70 \cdot 45 \cdot 14}\); в) \(\dfrac{300}{(2\sqrt{5})^2}\); г) \(\sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4}\).
а) Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности их квадратов; кроме того, \((\sqrt{19})^2 = 19\) и \((\sqrt{13})^2 = 13\): \[(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6.\]
б) Представим подкоренное выражение в виде произведения квадратов: \(70 \cdot 45 \cdot 14 = 7 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 = 49 \cdot 9 \cdot 100\). Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из них: \[\begin{aligned} &\sqrt{70 \cdot 45 \cdot 14} = \sqrt{49 \cdot 9 \cdot 100} = {} \\ &= \sqrt{49} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 3 \cdot 10 = 210. \end{aligned}\]
в) Квадрат произведения равен произведению квадратов множителей, а \((\sqrt{5})^2 = 5\): \[\frac{300}{(2\sqrt{5})^2} = \frac{300}{4 \cdot 5} = \frac{300}{20} = 15.\]
г) Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из их произведения, а корень из произведения неотрицательных множителей — произведению корней из них; кроме того, \(7^2 > 0\) и \((7^2)^2 = 7^4\): \[\begin{aligned} &\sqrt{6 \cdot 5^2} \cdot \sqrt{6 \cdot 7^4} = \sqrt{6^2 \cdot 5^2 \cdot 7^4} = {} \\ &= \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^4} = 6 \cdot 5 \cdot 7^2 = 1470. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(6\); б) \(210\); в) \(15\); г) \(1470\).
