Страница 142 номер 713, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких значениях параметра \(a\) число \(-8\) является единственным корнем уравнения \(\dfrac{(x+8)(x-a)}{x-1} = 0\)?
Корни числителя — \(-8\) и \(a\); при \(x = -8\) знаменатель равен \(-8 - 1 = -9\), поэтому число \(-8\) — корень уравнения при любом \(a\). Единственным корнем оно будет в двух случаях:
- число \(a\) — корень знаменателя: \(a - 1 = 0\), откуда \(a = 1\);
- корни числителя совпадают: \(a = -8\).
Проверка: при \(a = 1\) уравнение принимает вид \(\frac{(x + 8)(x - 1)}{x - 1} = 0\): корень числителя \(1\) обращает знаменатель в нуль, и единственным корнем остаётся \(-8\). При \(a = -8\) уравнение принимает вид \(\frac{(x + 8)^2}{x - 1} = 0\): числитель имеет единственный корень \(-8\), и знаменатель при нём не обращается в нуль.
Ответ: при \(a = -8\); \(a = 1\).
При каких значениях параметра \(a\) число \(-8\) является единственным корнем уравнения \(\dfrac{(x+8)(x-a)}{x-1} = 0\)?
Корнями числителя являются числа \(-8\) и \(a\), причём число \(-8\) не является корнем знаменателя: \(-8 - 1 = -9\). Значит, число \(-8\) при любом значении \(a\) является корнем исходного уравнения, причём единственным корнем оно будет в двух случаях:
- если число \(a\) является корнем знаменателя;
- если корни числителя совпадают.
В первом случае получаем, что \(a - 1 = 0\), откуда \(a = 1\). Во втором случае получаем, что \(a = -8\).
Проверка: при \(a = 1\) уравнение принимает вид \(\frac{(x + 8)(x - 1)}{x - 1} = 0\): корень числителя \(1\) обращает знаменатель в нуль, и единственным корнем остаётся \(-8\). При \(a = -8\) уравнение принимает вид \(\frac{(x + 8)^2}{x - 1} = 0\): числитель имеет единственный корень \(-8\), и знаменатель при этом значении не обращается в нуль.
Ответ: при \(a = -8\); \(a = 1\).
