Страница 119 номер 622, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители: а) \(x^2+18x+81\); б) \(x^2-4x-9\); в) \(x^3-16x^2+64x\).
а) \(18x = 2 \cdot x \cdot 9\) и \(81 = 9^2\), поэтому \[x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2.\]
б) Для уравнения \(x^2 - 4x - 9 = 0\) коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -2\): \[D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot (-9) = 4 + 9 = 13.\] \(D_1 > 0\) — два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= 2 - \sqrt{13}; \\ x_2 &= 2 + \sqrt{13}. \end{aligned}\] По формуле \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[\begin{aligned} &x^2 - 4x - 9 = (x - (2 - \sqrt{13}))(x - (2 + \sqrt{13})) = {} \\ &= (x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13}). \end{aligned}\] Проверка: \((x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13}) = (x - 2)^2 - 13 = x^2 - 4x + 4 - 13 = x^2 - 4x - 9\).
в) \(16x = 2 \cdot x \cdot 8\) и \(64 = 8^2\), поэтому \[x^3 - 16x^2 + 64x = x(x^2 - 16x + 64) = x(x - 8)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2\); б) \(x^2 - 4x - 9 = (x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13})\); в) \(x^3 - 16x^2 + 64x = x(x - 8)^2\).
Разложите многочлен на множители: а) \(x^2+18x+81\); б) \(x^2-4x-9\); в) \(x^3-16x^2+64x\).
а) Многочлен является квадратом суммы, так как \(18x = 2 \cdot x \cdot 9\) и \(81 = 9^2\): \[x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2.\]
б) Коэффициент при \(x\) чётный, \(k = -2\). Найдём \(D_1\) соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 9 = 0\): \[D_1 = (-2)^2 - 1 \cdot (-9) = 4 + 9 = 13.\] Поскольку \(D_1 > 0\), уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= 2 - \sqrt{13}; \\ x_2 &= 2 + \sqrt{13}. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[\begin{aligned} &x^2 - 4x - 9 = (x - (2 - \sqrt{13}))(x - (2 + \sqrt{13})) = {} \\ &= (x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13}). \end{aligned}\] Проверка: \((x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13}) = (x - 2)^2 - 13 = x^2 - 4x + 4 - 13 = x^2 - 4x - 9\).
в) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки; трёхчлен в скобках — квадрат разности, так как \(16x = 2 \cdot x \cdot 8\) и \(64 = 8^2\): \[x^3 - 16x^2 + 64x = x(x^2 - 16x + 64) = x(x - 8)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2\); б) \(x^2 - 4x - 9 = (x - 2 + \sqrt{13})(x - 2 - \sqrt{13})\); в) \(x^3 - 16x^2 + 64x = x(x - 8)^2\).
