Страница 119 номер 619, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители: а) \(x^2-3x-4\); б) \(x^3-5x^2+6x\); в) \(x^4-8x^2+16\).
а) Дискриминант уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\] Дискриминант положителен — два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] По формуле \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[x^2 - 3x - 4 = (x - (-1))(x - 4) = (x + 1)(x - 4).\]
б) \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)\). Корни уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — числа 2 и 3: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\). Поэтому \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) и \[x^3 - 5x^2 + 6x = x(x - 2)(x - 3).\]
в) \(x^4 = (x^2)^2\), \(8x^2 = 2 \cdot x^2 \cdot 4\) и \(16 = 4^2\), поэтому \[x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = \left((x - 2)(x + 2)\right)^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)\); б) \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x - 2)(x - 3)\); в) \(x^4 - 8x^2 + 16 = (x - 2)^2(x + 2)^2\).
Разложите многочлен на множители: а) \(x^2-3x-4\); б) \(x^3-5x^2+6x\); в) \(x^4-8x^2+16\).
а) Найдём дискриминант соответствующего квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.\] Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\): \[x^2 - 3x - 4 = (x - (-1))(x - 4) = (x + 1)(x - 4).\]
б) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x^2 - 5x + 6)\). Корни уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — числа 2 и 3: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(2 + 3 = 5\) и \(2 \cdot 3 = 6\). Поэтому \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\) и \[x^3 - 5x^2 + 6x = x(x - 2)(x - 3).\]
в) Многочлен является квадратом разности, так как \(x^4 = (x^2)^2\), \(8x^2 = 2 \cdot x^2 \cdot 4\) и \(16 = 4^2\): \(x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2\). Двучлен \(x^2 - 4\) разложим по формуле разности квадратов: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Значит, \[x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = \left((x - 2)(x + 2)\right)^2 = (x - 2)^2(x + 2)^2.\]
Ответ: а) \(x^2 - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)\); б) \(x^3 - 5x^2 + 6x = x(x - 2)(x - 3)\); в) \(x^4 - 8x^2 + 16 = (x - 2)^2(x + 2)^2\).
