Страница 119 номер 616, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните действие: а) \(\frac{a+8}{a^2-9a}-\frac{a}{a^2-81}\); б) \(\frac{x-19}{x^2-3x-4}+\frac{3}{x-4}\); в) \(\frac{1}{a^2+6ab}+\frac{1}{36b^2+6ab}\).
а) \(a^2 - 9a = a(a - 9)\), \(a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9)\); дополнительный множитель первой дроби — \(a + 9\), второй — \(a\): \[\begin{aligned} &\frac{a + 8}{a^2 - 9a} - \frac{a}{a^2 - 81} = \frac{a + 8}{a(a - 9)} - \frac{a}{(a - 9)(a + 9)} = {} \\ &= \frac{(a + 8)(a + 9)}{a(a - 9)(a + 9)} - \frac{a \cdot a}{a(a - 9)(a + 9)} = {} \\ &= \frac{a^2 + 9a + 8a + 72 - a^2}{a(a - 9)(a + 9)} = \frac{17a + 72}{a(a - 9)(a + 9)}. \end{aligned}\]
б) Корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — числа \(-1\) и 4: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-1 + 4 = 3\) и \((-1) \cdot 4 = -4\). Поэтому \(x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)\) — общий знаменатель; дополнительный множитель второй дроби — \(x + 1\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 19}{x^2 - 3x - 4} + \frac{3}{x - 4} = \frac{x - 19}{(x - 4)(x + 1)} + \frac{3(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} = {} \\ &= \frac{x - 19 + 3x + 3}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4x - 16}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4}{x + 1}. \end{aligned}\]
в) \(a^2 + 6ab = a(a + 6b)\), \(36b^2 + 6ab = 6b(6b + a) = 6b(a + 6b)\); дополнительный множитель первой дроби — \(6b\), второй — \(a\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{a^2 + 6ab} + \frac{1}{36b^2 + 6ab} = \frac{1}{a(a + 6b)} + \frac{1}{6b(a + 6b)} = {} \\ &= \frac{6b}{6ab(a + 6b)} + \frac{a}{6ab(a + 6b)} = \frac{a + 6b}{6ab(a + 6b)} = \frac{1}{6ab}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{17a + 72}{a(a - 9)(a + 9)}\); б) \(\frac{4}{x + 1}\); в) \(\frac{1}{6ab}\).
Выполните действие: а) \(\frac{a+8}{a^2-9a}-\frac{a}{a^2-81}\); б) \(\frac{x-19}{x^2-3x-4}+\frac{3}{x-4}\); в) \(\frac{1}{a^2+6ab}+\frac{1}{36b^2+6ab}\).
а) Разложим знаменатели на множители: \(a^2 - 9a = a(a - 9)\), \(a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9)\). Знаменатели имеют общий множитель \(a - 9\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(a + 9\), а числитель и знаменатель второй — на \(a\): \[\begin{aligned} &\frac{a + 8}{a^2 - 9a} - \frac{a}{a^2 - 81} = \frac{a + 8}{a(a - 9)} - \frac{a}{(a - 9)(a + 9)} = {} \\ &= \frac{(a + 8)(a + 9)}{a(a - 9)(a + 9)} - \frac{a \cdot a}{a(a - 9)(a + 9)} = {} \\ &= \frac{a^2 + 9a + 8a + 72 - a^2}{a(a - 9)(a + 9)} = \frac{17a + 72}{a(a - 9)(a + 9)}. \end{aligned}\]
б) Разложим на множители знаменатель первой дроби. Корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — числа \(-1\) и 4: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-1 + 4 = 3\) и \((-1) \cdot 4 = -4\). Поэтому \(x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)\). Этот знаменатель получается из знаменателя второй дроби умножением на \(x + 1\), поэтому общий знаменатель — \((x - 4)(x + 1)\): умножим числитель и знаменатель второй дроби на \(x + 1\). Числитель суммы разложим на множители и сократим дробь на \(x - 4\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 19}{x^2 - 3x - 4} + \frac{3}{x - 4} = \frac{x - 19}{(x - 4)(x + 1)} + \frac{3(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} = {} \\ &= \frac{x - 19 + 3x + 3}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4x - 16}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{4}{x + 1}. \end{aligned}\]
в) Разложим знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки: \(a^2 + 6ab = a(a + 6b)\), \(36b^2 + 6ab = 6b(6b + a) = 6b(a + 6b)\). Знаменатели имеют общий множитель \(a + 6b\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(6b\), а числитель и знаменатель второй — на \(a\). Затем сократим дробь на \(a + 6b\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{a^2 + 6ab} + \frac{1}{36b^2 + 6ab} = \frac{1}{a(a + 6b)} + \frac{1}{6b(a + 6b)} = {} \\ &= \frac{6b}{6ab(a + 6b)} + \frac{a}{6ab(a + 6b)} = \frac{a + 6b}{6ab(a + 6b)} = \frac{1}{6ab}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{17a + 72}{a(a - 9)(a + 9)}\); б) \(\frac{4}{x + 1}\); в) \(\frac{1}{6ab}\).
