Страница 118 номер 613, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Заметим, что \(q - p = -(p - q)\), поэтому \(\frac{2p}{q - p} = -\frac{2p}{p - q}\), и знаменатели дробей становятся одинаковыми: \[\frac{9p}{p - q} + \frac{2p}{q - p} = \frac{9p}{p - q} - \frac{2p}{p - q} = \frac{9p - 2p}{p - q} = \frac{7p}{p - q}.\]

б) Знаменатель \(49a\) делится на \(7a\): \(49a = 7a \cdot 7\). Поэтому общий знаменатель — \(49a\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7: \[\frac{1}{7a} - \frac{5}{49a} = \frac{7}{49a} - \frac{5}{49a} = \frac{2}{49a}.\]

в) Представим число 2 в виде дроби \(\frac{2}{1}\) и приведём её к знаменателю \(3x - 2\), умножив числитель и знаменатель на \(3x - 2\): \[\frac{5x - 2}{3x - 2} + 2 = \frac{5x - 2}{3x - 2} + \frac{2(3x - 2)}{3x - 2} = \frac{5x - 2 + 6x - 4}{3x - 2} = \frac{11x - 6}{3x - 2}.\] Числитель получился в результате сложения двух многочленов: \(2(3x - 2)\) делится на \(3x - 2\), а \(5x - 2\) — нет. Иначе двучлен \(5x - 2\) обращался бы в нуль вместе с \(3x - 2\) при \(x = \frac{2}{3}\), а его значение при \(x = \frac{2}{3}\) равно \(5 \cdot \frac{2}{3} - 2 = \frac{4}{3}\). Следовательно, получившийся числитель не делится на \(3x - 2\) и сократить дробь невозможно.

г) Заметим, что \(3q - 5p = -(5p - 3q)\), поэтому \(\frac{10p}{3q - 5p} = -\frac{10p}{5p - 3q}\). В числителе разности вынесем за скобки \(-2\) и сократим дробь на \(5p - 3q\): \[\begin{aligned} &\frac{6q}{5p - 3q} + \frac{10p}{3q - 5p} = \frac{6q}{5p - 3q} - \frac{10p}{5p - 3q} = {} \\ &= \frac{6q - 10p}{5p - 3q} = \frac{-2(5p - 3q)}{5p - 3q} = -2. \end{aligned}\]

Ответ: а) \(\frac{7p}{p - q}\); б) \(\frac{2}{49a}\); в) \(\frac{11x - 6}{3x - 2}\); г) \(-2\).