Страница 119 номер 614, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дробь приводят к новому знаменателю по основному свойству рациональной дроби: её числитель и знаменатель умножают на один и тот же ненулевой многочлен. Поэтому дробь можно привести к знаменателю \((x - 6)(x + 2)^2\) тогда, когда этот многочлен делится на её знаменатель. Разложим знаменатели дробей на множители.

1) \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\). Многочлен \((x - 6)(x + 2)^2\) не делится на \(x + 6\): при \(x = -6\) его значение \((-6 - 6)(-6 + 2)^2 = -192\) не равно нулю, то есть \(-6\) не является его корнем. Значит, он не делится и на \((x - 6)(x + 6)\), и дробь \(\frac{1}{x^2 - 36}\) к знаменателю \((x - 6)(x + 2)^2\) привести нельзя.

2) \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\) — квадрат суммы. Многочлен \((x - 6)(x + 2)^2\) получается из \((x + 2)^2\) умножением на \(x - 6\), поэтому умножим числитель и знаменатель дроби на \(x - 6\): \[\frac{1}{x^2 + 4x + 4} = \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{x - 6}{(x - 6)(x + 2)^2}.\]

3) \(x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2\) — квадрат разности. В этот знаменатель множитель \(x - 6\) входит дважды, а в произведение \((x - 6)(x + 2)^2\) — только один раз: множитель \((x + 2)^2\) на \(x - 6\) не делится, так как при \(x = 6\) его значение \((6 + 2)^2 = 64\) не равно нулю. Поэтому \((x - 6)(x + 2)^2\) не делится на \((x - 6)^2\), и дробь \(\frac{1}{x^2 - 12x + 36}\) к этому знаменателю привести нельзя.

4) Корни уравнения \(x^2 - 4x - 12 = 0\) — числа \(-2\) и 6: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-2 + 6 = 4\) и \((-2) \cdot 6 = -12\). Значит, \(x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)\), и многочлен \((x - 6)(x + 2)^2\) получается из него умножением на \(x + 2\). Умножим числитель и знаменатель дроби на \(x + 2\): \[\frac{1}{x^2 - 4x - 12} = \frac{1}{(x - 6)(x + 2)} = \frac{x + 2}{(x - 6)(x + 2)^2}.\]

Ответ: к знаменателю \((x - 6)(x + 2)^2\) можно привести дроби 2) \(\frac{1}{x^2 + 4x + 4}\) и 4) \(\frac{1}{x^2 - 4x - 12}\).