Страница 119 номер 615, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните действие: а) \(\frac{5b}{18a-36}+\frac{b}{8-4a}\); б) \(\frac{4}{x^2-4x-21}-\frac{4}{x^2-49}\); в) \(\frac{x-6a}{x^2-4a^2}-\frac{2a}{2ax-x^2}\).
а) \(18a - 36 = 18(a - 2)\), \(8 - 4a = 4(2 - a) = -4(a - 2)\), поэтому \(\frac{b}{8 - 4a} = -\frac{b}{4(a - 2)}\). Общий знаменатель — \(36(a - 2)\), так как \(\text{НОК}(18; 4) = 36\); дополнительный множитель первой дроби — 2, второй — 9: \[\begin{aligned} &\frac{5b}{18a - 36} + \frac{b}{8 - 4a} = \frac{5b}{18(a - 2)} - \frac{b}{4(a - 2)} = {} \\ &= \frac{10b}{36(a - 2)} - \frac{9b}{36(a - 2)} = \frac{b}{36(a - 2)}. \end{aligned}\]
б) Корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) — числа \(-3\) и 7: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-3 + 7 = 4\) и \((-3) \cdot 7 = -21\). Поэтому \(x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)\);
\(x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)\). Дополнительный множитель первой дроби — \(x + 7\), второй — \(x + 3\):
\[\begin{aligned} &\frac{4}{x^2 - 4x - 21} - \frac{4}{x^2 - 49} = \frac{4}{(x - 7)(x + 3)} - \frac{4}{(x - 7)(x + 7)} = {} \\ &= \frac{4(x + 7)}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} - \frac{4(x + 3)}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} = {} \\ &= \frac{4x + 28 - 4x - 12}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} = \frac{16}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)}. \end{aligned}\]
в) \(x^2 - 4a^2 = (x - 2a)(x + 2a)\), \(2ax - x^2 = x(2a - x) = -x(x - 2a)\), поэтому \(\frac{2a}{2ax - x^2} = -\frac{2a}{x(x - 2a)}\). Дополнительный множитель первой дроби — \(x\), второй — \(x + 2a\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 6a}{x^2 - 4a^2} - \frac{2a}{2ax - x^2} = \frac{x - 6a}{(x - 2a)(x + 2a)} + \frac{2a}{x(x - 2a)} = {} \\ &= \frac{x(x - 6a)}{x(x - 2a)(x + 2a)} + \frac{2a(x + 2a)}{x(x - 2a)(x + 2a)} = {} \\ &= \frac{x^2 - 6ax + 2ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{x^2 - 4ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)}. \end{aligned}\] Числитель \(x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2\), поэтому дробь сокращается на \(x - 2a\): \[\frac{x^2 - 4ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{(x - 2a)^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{x - 2a}{x(x + 2a)}.\]
Ответ: а) \(\frac{b}{36(a - 2)}\); б) \(\frac{16}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)}\); в) \(\frac{x - 2a}{x(x + 2a)}\).
Выполните действие: а) \(\frac{5b}{18a-36}+\frac{b}{8-4a}\); б) \(\frac{4}{x^2-4x-21}-\frac{4}{x^2-49}\); в) \(\frac{x-6a}{x^2-4a^2}-\frac{2a}{2ax-x^2}\).
а) Разложим знаменатели на множители: \(18a - 36 = 18(a - 2)\), \(8 - 4a = 4(2 - a) = -4(a - 2)\). Поэтому \(\frac{b}{8 - 4a} = -\frac{b}{4(a - 2)}\). Знаменатели \(18(a - 2)\) и \(4(a - 2)\) имеют общий множитель \(a - 2\), а \(\text{НОК}(18; 4) = 36\), поэтому общий знаменатель — \(36(a - 2)\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а числитель и знаменатель второй — на 9: \[\begin{aligned} &\frac{5b}{18a - 36} + \frac{b}{8 - 4a} = \frac{5b}{18(a - 2)} - \frac{b}{4(a - 2)} = {} \\ &= \frac{10b}{36(a - 2)} - \frac{9b}{36(a - 2)} = \frac{b}{36(a - 2)}. \end{aligned}\]
б) Разложим знаменатели на множители. Корни уравнения \(x^2 - 4x - 21 = 0\) — числа \(-3\) и 7: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-3 + 7 = 4\) и \((-3) \cdot 7 = -21\). Поэтому \(x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)\); по формуле разности квадратов \(x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)\). Знаменатели имеют общий множитель \(x - 7\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(x + 7\), а числитель и знаменатель второй — на \(x + 3\): \[\begin{aligned} &\frac{4}{x^2 - 4x - 21} - \frac{4}{x^2 - 49} = \frac{4}{(x - 7)(x + 3)} - \frac{4}{(x - 7)(x + 7)} = {} \\ &= \frac{4(x + 7)}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} - \frac{4(x + 3)}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} = {} \\ &= \frac{4x + 28 - 4x - 12}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)} = \frac{16}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)}. \end{aligned}\]
в) Разложим знаменатели на множители: \(x^2 - 4a^2 = (x - 2a)(x + 2a)\), \(2ax - x^2 = x(2a - x) = -x(x - 2a)\). Поэтому \(\frac{2a}{2ax - x^2} = -\frac{2a}{x(x - 2a)}\), и вычитание этой дроби заменяется прибавлением дроби \(\frac{2a}{x(x - 2a)}\). Знаменатели имеют общий множитель \(x - 2a\): умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(x\), а числитель и знаменатель второй — на \(x + 2a\): \[\begin{aligned} &\frac{x - 6a}{x^2 - 4a^2} - \frac{2a}{2ax - x^2} = \frac{x - 6a}{(x - 2a)(x + 2a)} + \frac{2a}{x(x - 2a)} = {} \\ &= \frac{x(x - 6a)}{x(x - 2a)(x + 2a)} + \frac{2a(x + 2a)}{x(x - 2a)(x + 2a)} = {} \\ &= \frac{x^2 - 6ax + 2ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{x^2 - 4ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)}. \end{aligned}\] Числитель получившейся дроби — квадрат разности: \(x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2\). Сократим дробь на общий множитель \(x - 2a\): \[\frac{x^2 - 4ax + 4a^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{(x - 2a)^2}{x(x - 2a)(x + 2a)} = \frac{x - 2a}{x(x + 2a)}.\]
Ответ: а) \(\frac{b}{36(a - 2)}\); б) \(\frac{16}{(x - 7)(x + 3)(x + 7)}\); в) \(\frac{x - 2a}{x(x + 2a)}\).
