Страница 118 номер 607, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
К какому общему знаменателю можно привести дроби \(\frac{x^3-6}{a^5c^3}\) и \(\frac{y^3}{a^5b^2}\): 1) \(a^5bc^3\); 2) \(a^5b^2\); 3) \(a^5c^3+a^5b^2\); 4) \(a^5b^2c^3\); 5) \((x^3-6)y^3\)?
Общим знаменателем может быть только многочлен, который делится и на \(a^5c^3\), и на \(a^5b^2\).
1) \(a^5bc^3 = a^5c^3 \cdot b\) — делится на \(a^5c^3\), но не делится на \(a^5b^2\): переменная \(b\) входит в \(a^5bc^3\) в первой степени, а в \(a^5b^2\) — во второй. Вторую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
2) Одночлен \(a^5b^2\) не содержит переменной \(c\), поэтому не делится на \(a^5c^3\): первую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
3) Член \(a^5b^2\) многочлена \(a^5c^3 + a^5b^2\) не содержит переменной \(c\), поэтому многочлен не делится на \(a^5c^3\): первую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
4) \(a^5b^2c^3 = a^5c^3 \cdot b^2 = a^5b^2 \cdot c^3\); дополнительный множитель первой дроби — \(b^2\), второй — \(c^3\): \[\begin{aligned} \frac{x^3 - 6}{a^5c^3} &= \frac{(x^3 - 6)b^2}{a^5b^2c^3}; \\ \frac{y^3}{a^5b^2} &= \frac{y^3c^3}{a^5b^2c^3}. \end{aligned}\] Обе дроби приведены к знаменателю \(a^5b^2c^3\).
5) \((x^3 - 6)y^3 = x^3y^3 - 6y^3\) — ни один член не содержит переменной \(a\), поэтому многочлен не делится ни на \(a^5c^3\), ни на \(a^5b^2\): привести к нему данные дроби нельзя.
Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю 4) \(a^5b^2c^3\).
К какому общему знаменателю можно привести дроби \(\frac{x^3-6}{a^5c^3}\) и \(\frac{y^3}{a^5b^2}\): 1) \(a^5bc^3\); 2) \(a^5b^2\); 3) \(a^5c^3+a^5b^2\); 4) \(a^5b^2c^3\); 5) \((x^3-6)y^3\)?
Дробь приводят к новому знаменателю по основному свойству рациональной дроби: её числитель и знаменатель умножают на один и тот же ненулевой многочлен. Поэтому общим знаменателем дробей \(\frac{x^3 - 6}{a^5c^3}\) и \(\frac{y^3}{a^5b^2}\) может быть только многочлен, который делится и на \(a^5c^3\), и на \(a^5b^2\). Каждый член произведения одночлена на многочлен содержит этот одночлен множителем.
1) \(a^5bc^3 = a^5c^3 \cdot b\), то есть этот одночлен делится на \(a^5c^3\). Но переменная \(b\) входит в него в первой степени, а в \(a^5b^2\) — во второй, поэтому на \(a^5b^2\) он не делится, и вторую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
2) Одночлен \(a^5b^2\) не содержит переменной \(c\), поэтому он не делится на \(a^5c^3\), и первую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
3) Член \(a^5b^2\) многочлена \(a^5c^3 + a^5b^2\) не содержит переменной \(c\), поэтому этот многочлен не делится на \(a^5c^3\), и первую дробь к такому знаменателю привести нельзя.
4) \(a^5b^2c^3 = a^5c^3 \cdot b^2 = a^5b^2 \cdot c^3\). Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(b^2\), а второй — на \(c^3\): \[\begin{aligned} \frac{x^3 - 6}{a^5c^3} &= \frac{(x^3 - 6)b^2}{a^5b^2c^3}; \\ \frac{y^3}{a^5b^2} &= \frac{y^3c^3}{a^5b^2c^3}. \end{aligned}\] Обе дроби приведены к знаменателю \(a^5b^2c^3\).
5) \((x^3 - 6)y^3 = x^3y^3 - 6y^3\). Ни один член этого многочлена не содержит переменной \(a\), поэтому он не делится ни на \(a^5c^3\), ни на \(a^5b^2\), и привести к нему данные дроби нельзя.
Ответ: дроби можно привести к общему знаменателю 4) \(a^5b^2c^3\).
