Страница 114 номер 600, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2-14x=0\); б) \(49x^2-16=0\); в) \(x^2-13x+40=0\).
а) \[\begin{aligned} x^2 - 14x &= 0; \\ x(x - 14) &= 0. \end{aligned}\] \(x = 0\) или \(x - 14 = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 14\).
б) \[\begin{aligned} 49x^2 - 16 &= 0; \\ (7x - 4)(7x + 4) &= 0; \\ 7x - 4 &= 0 \text{ или } 7x + 4 = 0; \\ x &= \frac{4}{7} \text{ или } x = -\frac{4}{7}. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} D &= (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9; \\ x_1 &= \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = 5; \\ x_2 &= \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0\); \(14\); б) \(-\frac{4}{7}\); \(\frac{4}{7}\); в) \(5\); \(8\).
Решите уравнение: а) \(x^2-14x=0\); б) \(49x^2-16=0\); в) \(x^2-13x+40=0\).
а) Вынесем за скобки общий множитель \(x\): \[\begin{aligned} x^2 - 14x &= 0; \\ x(x - 14) &= 0. \end{aligned}\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x - 14 = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 14\).
б) Заметим, что \(49x^2 = (7x)^2\) и \(16 = 4^2\). Тогда: \[\begin{aligned} 49x^2 - 16 &= 0; \\ (7x - 4)(7x + 4) &= 0; \\ 7x - 4 &= 0 \text{ или } 7x + 4 = 0; \\ x &= \frac{4}{7} \text{ или } x = -\frac{4}{7}. \end{aligned}\]
в) Коэффициенты квадратного уравнения: \(a = 1\), \(b = -13\) и \(c = 40\). \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{13 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = 5; \\ x_2 &= \frac{13 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(0\); \(14\); б) \(-\frac{4}{7}\); \(\frac{4}{7}\); в) \(5\); \(8\).
