Страница 114 номер 595, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) Числитель разложим по формуле разности квадратов, в знаменателе вынесем за скобки множитель 3. Двучлены \(7 + x\) и \(x + 7\) равны, поэтому дробь сокращается на \(x + 7\): \[\frac{49 - x^2}{3x + 21} = \frac{(7 - x)(7 + x)}{3(x + 7)} = \frac{7 - x}{3}.\]

б) Разложим на множители числитель. Найдём дискриминант уравнения \(2x^2 + 11x + 5 = 0\): \[D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{-11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 9}{4} = -5; \\ x_2 &= \frac{-11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 9}{4} = -\frac{1}{2}. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) и внесём старший коэффициент 2 в скобку с дробным корнем: \[2x^2 + 11x + 5 = 2(x + 5)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x + 5)(2x + 1).\] Корни уравнения \(x^2 - 4x - 45 = 0\) — числа \(-5\) и 9: по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-5 + 9 = 4\) и \(-5 \cdot 9 = -45\). Следовательно, \(x^2 - 4x - 45 = (x + 5)(x - 9)\).

Число \(-5\) — общий корень числителя и знаменателя, поэтому дробь сокращается на \(x + 5\): \[\frac{2x^2 + 11x + 5}{x^2 - 4x - 45} = \frac{(x + 5)(2x + 1)}{(x + 5)(x - 9)} = \frac{2x + 1}{x - 9}.\]

Ответ: а) \(\frac{7 - x}{3}\); б) \(\frac{2x + 1}{x - 9}\).