Страница 114 номер 591, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

а) В числителе вынесем за скобки множитель 7: \(7x + 42 = 7(x + 6)\). Корни уравнения \(x^2 + 7x + 6 = 0\) — числа \(-6\) и \(-1\): по теореме, обратной теореме Виета, это следует из равенств \(-6 + (-1) = -7\) и \(-6 \cdot (-1) = 6\). Следовательно, \[x^2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1).\] Общий множитель числителя и знаменателя — \(x + 6\); сократим на него дробь: \[\frac{7x + 42}{x^2 + 7x + 6} = \frac{7(x + 6)}{(x + 6)(x + 1)} = \frac{7}{x + 1}.\]

б) Разложим на множители числитель. Найдём дискриминант уравнения \(6x^2 - 5x - 4 = 0\): \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121.\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 11}{12} = -\frac{1}{2}; \\ x_2 &= \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 11}{12} = \frac{4}{3}. \end{aligned}\] Воспользуемся формулой \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) и внесём множители 2 и 3 старшего коэффициента \(6 = 2 \cdot 3\) в скобки: \[\begin{aligned} &6x^2 - 5x - 4 = 6\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{4}{3}\right) = {} \\ &= 2\left(x + \frac{1}{2}\right) \cdot 3\left(x - \frac{4}{3}\right) = (2x + 1)(3x - 4). \end{aligned}\] Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\). Общий множитель числителя и знаменателя — \(2x + 1\); сократим на него дробь: \[\frac{6x^2 - 5x - 4}{4x^2 - 1} = \frac{(2x + 1)(3x - 4)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{3x - 4}{2x - 1}.\]

Ответ: а) \(\frac{7}{x + 1}\); б) \(\frac{3x - 4}{2x - 1}\).