Страница 114 номер 588, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На какие множители можно сократить дробь \(\frac{-2x^5(4x-5)(3-7x)}{6x^8(4x-5)(5x+3)(6-7x)}\): 1) \(2\); 2) \(x^5\); 3) \(4x-5\); 4) \(5x+3\); 5) \(6-7x\)?
Сократить дробь на ненулевой многочлен можно, только если на него делятся и числитель, и знаменатель.
1) \(-2 = 2 \cdot (-1)\) и \(6 = 2 \cdot 3\), значит, дробь можно сократить на 2.
2) В числителе есть множитель \(x^5\), а в знаменателе — множитель \(x^8 = x^5 \cdot x^3\), значит, дробь можно сократить на \(x^5\).
3) Двучлен \(4x - 5\) — множитель и числителя, и знаменателя, значит, дробь можно сократить на \(4x - 5\).
4) Множитель \(5x + 3\) есть только в знаменателе. Если бы числитель делился на \(5x + 3\), то при \(x = -0{,}6\), когда \(5x + 3 = 0\), он обращался бы в нуль. Но при \(x = -0{,}6\) ни один множитель числителя не равен нулю: \((-0{,}6)^5 \neq 0\), \(4 \cdot (-0{,}6) - 5 = -7{,}4\), \(3 - 7 \cdot (-0{,}6) = 7{,}2\). Значит, числитель на \(5x + 3\) не делится, и сократить дробь на \(5x + 3\) нельзя.
5) Множитель \(6 - 7x\) тоже есть только в знаменателе: двучлен \(3 - 7x\) числителя из него умножением на число не получается. Двучлен \(6 - 7x\) обращается в нуль при \(x = \frac{6}{7}\), а множители числителя при этом значении не равны нулю: \(\left(\frac{6}{7}\right)^5 \neq 0\), \(4 \cdot \frac{6}{7} - 5 = -\frac{11}{7}\), \(3 - 7 \cdot \frac{6}{7} = -3\). Значит, числитель на \(6 - 7x\) не делится, и сократить дробь на \(6 - 7x\) нельзя.
Ответ: дробь можно сократить на 1) \(2\), 2) \(x^5\) и 3) \(4x - 5\).
На какие множители можно сократить дробь \(\frac{-2x^5(4x-5)(3-7x)}{6x^8(4x-5)(5x+3)(6-7x)}\): 1) \(2\); 2) \(x^5\); 3) \(4x-5\); 4) \(5x+3\); 5) \(6-7x\)?
Сократить дробь на ненулевой многочлен — значит разделить на него и числитель, и знаменатель, поэтому это можно сделать, только если оба они на него делятся.
1) Числовые множители числителя и знаменателя \(-2\) и \(6\) делятся на 2: \(-2 = 2 \cdot (-1)\) и \(6 = 2 \cdot 3\). Значит, дробь можно сократить на 2.
2) В числителе есть множитель \(x^5\), а в знаменателе — множитель \(x^8 = x^5 \cdot x^3\). Значит, дробь можно сократить на \(x^5\).
3) Двучлен \(4x - 5\) — множитель и числителя, и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на \(4x - 5\).
4) Множитель \(5x + 3\) есть только в знаменателе. Если бы числитель делился на \(5x + 3\), то есть был равен \((5x + 3) \cdot T\) для некоторого многочлена \(T\), то при \(x = -0{,}6\), когда \(5x + 3 = 0\), числитель обращался бы в нуль. Но при \(x = -0{,}6\) ни один множитель числителя не равен нулю: \((-0{,}6)^5 \neq 0\), \(4 \cdot (-0{,}6) - 5 = -7{,}4\), \(3 - 7 \cdot (-0{,}6) = 7{,}2\). Значит, числитель на \(5x + 3\) не делится, и сократить дробь на \(5x + 3\) нельзя.
5) Множитель \(6 - 7x\) тоже есть только в знаменателе: двучлен \(3 - 7x\) числителя — другой, он не получается из \(6 - 7x\) умножением на число. Двучлен \(6 - 7x\) обращается в нуль при \(x = \frac{6}{7}\), а множители числителя при этом значении не равны нулю: \(\left(\frac{6}{7}\right)^5 \neq 0\), \(4 \cdot \frac{6}{7} - 5 = -\frac{11}{7}\), \(3 - 7 \cdot \frac{6}{7} = -3\). Значит, числитель на \(6 - 7x\) не делится, и сократить дробь на \(6 - 7x\) нельзя.
Ответ: дробь можно сократить на 1) \(2\), 2) \(x^5\) и 3) \(4x - 5\).
