Страница 88 номер 2.92, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Даны точки \(A(12;\ 4)\), \(B(8;\ 2)\), \(C(17;\ 5)\). Верно ли, что график зависимости \(y = \sqrt{x}\) пересекает отрезки \(AB\) и \(AC\) и не пересекает отрезок \(BC\)?
Ординаты и корни здесь положительны, поэтому сравниваем их квадраты.
\(A(12; 4)\): \(4^2 = 16 > 12\), поэтому \(4 > \sqrt{12}\) — точка \(A\) лежит выше графика.
\(B(8; 2)\): \(2^2 = 4 < 8\), поэтому \(2 < \sqrt{8}\) — точка \(B\) лежит ниже графика.
\(C(17; 5)\): \(5^2 = 25 > 17\), поэтому \(5 > \sqrt{17}\) — точка \(C\) лежит выше графика.
Концы отрезков \(AB\) и \(BC\) лежат по разные стороны от графика, поэтому график пересекает оба отрезка.
Оба конца отрезка \(AC\) лежат выше графика, но отсюда ещё не следует, что выше лежит весь отрезок. При сдвиге вправо от \(A\) к \(C\) на 5 отрезок поднимается на 1, то есть на \(0{,}2\) на каждую единицу сдвига; при \(x = 16\) ордината его точки равна \(4 + 4 \cdot 0{,}2 = 4{,}8\).
При \(12 \leqslant x \leqslant 16\) значения \(\sqrt{x}\) не больше \(\sqrt{16} = 4\), а ординаты точек отрезка не меньше 4, причём ордината 4 — только у точки \(A\), а \(\sqrt{12} < 4\). При \(16 \leqslant x \leqslant 17\) значения \(\sqrt{x}\) не больше \(\sqrt{17}\), и \(\sqrt{17} < 4{,}2\), так как \(4{,}2^2 = 17{,}64 > 17\), а ординаты точек отрезка не меньше \(4{,}8\). Значит, отрезок \(AC\) целиком проходит выше графика, график его не пересекает.
Ответ: неверно: график пересекает отрезки \(AB\) и \(BC\) и не пересекает отрезок \(AC\).
ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО. Даны точки \(A(12;\ 4)\), \(B(8;\ 2)\), \(C(17;\ 5)\). Верно ли, что график зависимости \(y = \sqrt{x}\) пересекает отрезки \(AB\) и \(AC\) и не пересекает отрезок \(BC\)?
Точка лежит выше графика зависимости \(y = \sqrt{x}\), если её ордината больше значения \(\sqrt{x}\) при её абсциссе, и ниже графика, если меньше. Ординаты и корни здесь положительны, поэтому сравниваем их квадраты.
\(A(12; 4)\): \(4^2 = 16 > 12\), поэтому \(4 > \sqrt{12}\) — точка \(A\) лежит выше графика.
\(B(8; 2)\): \(2^2 = 4 < 8\), поэтому \(2 < \sqrt{8}\) — точка \(B\) лежит ниже графика.
\(C(17; 5)\): \(5^2 = 25 > 17\), поэтому \(5 > \sqrt{17}\) — точка \(C\) лежит выше графика.
Концы отрезка \(AB\) лежат по разные стороны от графика, поэтому график пересекает отрезок \(AB\). Концы отрезка \(BC\) тоже лежат по разные стороны от графика, поэтому график пересекает и отрезок \(BC\). Построим график и отрезки:
Оба конца отрезка \(AC\) лежат выше графика, но отсюда ещё не следует, что выше лежит весь отрезок: между концами он мог бы пересечь график. При сдвиге вправо от \(A\) к \(C\) на 5 отрезок поднимается на 1, то есть на \(0{,}2\) на каждую единицу сдвига; при \(x = 16\) ордината его точки равна \(4 + 4 \cdot 0{,}2 = 4{,}8\).
При \(12 \leqslant x \leqslant 16\) значения \(\sqrt{x}\) не больше \(\sqrt{16} = 4\), а ординаты точек отрезка не меньше 4, причём ордината 4 — только у точки \(A\), а \(\sqrt{12} < 4\). При \(16 \leqslant x \leqslant 17\) значения \(\sqrt{x}\) не больше \(\sqrt{17}\), и \(\sqrt{17} < 4{,}2\), так как \(4{,}2^2 = 17{,}64 > 17\), а ординаты точек отрезка не меньше \(4{,}8\). Значит, отрезок \(AC\) целиком проходит выше графика, график его не пересекает.
Утверждение неверно: график зависимости \(y = \sqrt{x}\) пересекает отрезок \(BC\), а отрезок \(AC\) не пересекает.
Ответ: неверно: график пересекает отрезки \(AB\) и \(BC\) и не пересекает отрезок \(AC\).
