Страница 88 номер 2.89, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Глава 2. Квадратные корни. 2.5. График зависимости $y = \sqrt{x}$. Страница 88. Номер 2.89

Задание / условие:

РАССУЖДАЕМ (2.89—2.90) При выполнении упражнений воспользуйтесь рисунком 2.30.

Сравните числа:

а) $a$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$;

б) $a^2$ и $\sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; если $a > 1$.

Решение:

Числа $a$, $\sqrt{a}$ и $a^2$, где $a > 0$, — ординаты точек с абсциссой $a$ на прямой $y = x$, на графике зависимости $y = \sqrt{x}$ и на параболе $y = x^2$, $x \geqslant 0$:

график

Все три линии проходят через начало координат и через точку $(1; 1)$. При $0 < x < 1$ график зависимости $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = x$, а парабола — ниже этой прямой; при $x > 1$ — наоборот.

а) Если $0 < a < 1$, то точка графика $y = \sqrt{x}$ с абсциссой $a$ лежит выше точки прямой $y = x$ с той же абсциссой, поэтому $a < \sqrt{a}$; например, $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$. Если $a > 1$, то точка графика $y = \sqrt{x}$ лежит ниже, и $a > \sqrt{a}$; например, $\sqrt{4} = 2 < 4$.

б) Если $0 < a < 1$, то парабола ниже прямой $y = x$, а прямая ниже графика $y = \sqrt{x}$: $a^2 < a < \sqrt{a}$, поэтому $a^2 < \sqrt{a}$; например, $0{,}25^2 = 0{,}0625 < 0{,}5 = \sqrt{0{,}25}$. Если $a > 1$, то порядок обратный: $\sqrt{a} < a < a^2$, поэтому $a^2 > \sqrt{a}$; например, $4^2 = 16 > 2 = \sqrt{4}$.

Ответ: а) $a < \sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; $a > \sqrt{a}$, если $a > 1$; б) $a^2 < \sqrt{a}$, если $0 < a < 1$; $a^2 > \sqrt{a}$, если $a > 1$.