Страница 92 номер 2.100, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ДОКАЗЫВАЕМ. а) Докажите, что \(\sqrt{5^8} = 5^4\);
\(\sqrt{3^{20}} = 3^{10}\).
б) Докажите свойство: \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\), где \(a \ge 0\) и \(n \in N\).
а) Так как \(5^4 > 0\) и \((5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8\), то по определению \(\sqrt{5^8} = 5^4\).
Так как \(3^{10} > 0\) и \((3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}\), то по определению \(\sqrt{3^{20}} = 3^{10}\).
б) Пусть \(a \geqslant 0\) и \(n\) — натуральное число. Степень неотрицательного числа неотрицательна, поэтому \(a^n \geqslant 0\); кроме того, \((a^n)^2 = a^{2n}\). Значит, по определению арифметического квадратного корня \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\).
Условие \(a \geqslant 0\) здесь существенно: при отрицательном \(a\) и нечётном \(n\) число \(a^n\) отрицательно и не может быть значением корня — например, \(\sqrt{(-2)^2} = 2\), а не \(-2\).
Ответ: а) равенства доказаны: \(5^4 > 0\) и \((5^4)^2 = 5^8\), \(3^{10} > 0\) и \((3^{10})^2 = 3^{20}\); б) свойство доказано: при \(a \geqslant 0\) число \(a^n\) неотрицательно и \((a^n)^2 = a^{2n}\), поэтому \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\).
ДОКАЗЫВАЕМ. а) Докажите, что \(\sqrt{5^8} = 5^4\);
\(\sqrt{3^{20}} = 3^{10}\).
б) Докажите свойство: \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\), где \(a \ge 0\) и \(n \in N\).
Воспользуемся определением арифметического квадратного корня: равенство \(\sqrt{a} = b\) верно, если \(b \geqslant 0\) и \(b^2 = a\).
а) Так как \(5^4 > 0\) и \((5^4)^2 = 5^{4 \cdot 2} = 5^8\), то по определению \(\sqrt{5^8} = 5^4\).
Так как \(3^{10} > 0\) и \((3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}\), то по определению \(\sqrt{3^{20}} = 3^{10}\).
б) Пусть \(a \geqslant 0\) и \(n\) — натуральное число. Степень неотрицательного числа неотрицательна, поэтому \(a^n \geqslant 0\). При возведении степени в степень показатели перемножаются, поэтому \((a^n)^2 = a^{2n}\). Значит, по определению арифметического квадратного корня \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\).
Условие \(a \geqslant 0\) здесь существенно: при отрицательном \(a\) и нечётном \(n\) число \(a^n\) отрицательно и не может быть значением корня — например, \(\sqrt{(-2)^2} = 2\), а не \(-2\).
Ответ: а) равенства доказаны: \(5^4 > 0\) и \((5^4)^2 = 5^8\), \(3^{10} > 0\) и \((3^{10})^2 = 3^{20}\); б) свойство доказано: при \(a \geqslant 0\) число \(a^n\) неотрицательно и \((a^n)^2 = a^{2n}\), поэтому \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\).
