Страница 84 номер 2.76, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.75—2.76)
Из формулы:
а) \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\) выразите \(l\); в) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) выразите \(l\);
б) \(\omega = \sqrt{\frac{t}{n}}\) выразите \(t\); г) \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\) выразите \(L\).
Величины в этих формулах положительны, поэтому обе части равенства можно умножать и делить на любую из них.
а) Равенство \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{g}{l}\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{g}{l}; \qquad | \cdot l \\ \omega^2 l &= g; \qquad | : \omega^2 \\ l &= \frac{g}{\omega^2}. \end{aligned}\]
б) Равенство \(\omega = \sqrt{\frac{t}{n}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{t}{n}\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{t}{n}; \qquad | \cdot n \\ n\omega^2 &= t. \end{aligned}\]
Значит, \(t = n\omega^2\).
в) \[\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}; \qquad | : 2\pi \\ \frac{T}{2\pi} &= \sqrt{\frac{l}{g}}. \end{aligned}\]
Значит, \(\frac{l}{g} = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\), то есть \(\frac{l}{g} = \frac{T^2}{4\pi^2}\): \[\begin{aligned} \frac{l}{g} &= \frac{T^2}{4\pi^2}; \qquad | \cdot g \\ l &= \frac{gT^2}{4\pi^2}. \end{aligned}\]
г) Равенство \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{1}{LC}\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{1}{LC}; \qquad | \cdot LC \\ \omega^2 LC &= 1; \qquad | : \omega^2 C \\ L &= \frac{1}{\omega^2 C}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(l = \frac{g}{\omega^2}\); б) \(t = n\omega^2\); в) \(l = \frac{gT^2}{4\pi^2}\); г) \(L = \frac{1}{\omega^2 C}\).
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.75—2.76)
Из формулы:
а) \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\) выразите \(l\); в) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) выразите \(l\);
б) \(\omega = \sqrt{\frac{t}{n}}\) выразите \(t\); г) \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\) выразите \(L\).
Величины в этих формулах положительны, поэтому обе части равенства можно умножать и делить на любую из них.
а) По определению арифметического квадратного корня равенство \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{g}{l}\). Умножим обе части последнего равенства на \(l\), а затем разделим на \(\omega^2\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{g}{l}; \qquad | \cdot l \\ \omega^2 l &= g; \qquad | : \omega^2 \\ l &= \frac{g}{\omega^2}. \end{aligned}\]
б) Равенство \(\omega = \sqrt{\frac{t}{n}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{t}{n}\). Умножим обе части последнего равенства на \(n\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{t}{n}; \qquad | \cdot n \\ n\omega^2 &= t. \end{aligned}\] Значит, \(t = n\omega^2\).
в) Разделим обе части формулы на \(2\pi\): \[\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}; \qquad | : 2\pi \\ \frac{T}{2\pi} &= \sqrt{\frac{l}{g}}. \end{aligned}\] По определению арифметического квадратного корня это означает, что \(\frac{l}{g} = \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2\), то есть \(\frac{l}{g} = \frac{T^2}{4\pi^2}\). Умножим обе части на \(g\): \[\begin{aligned} \frac{l}{g} &= \frac{T^2}{4\pi^2}; \qquad | \cdot g \\ l &= \frac{gT^2}{4\pi^2}. \end{aligned}\]
г) Равенство \(\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\) означает, что \(\omega \geqslant 0\) и \(\omega^2 = \frac{1}{LC}\). Умножим обе части последнего равенства на \(LC\), а затем разделим на \(\omega^2 C\): \[\begin{aligned} \omega^2 &= \frac{1}{LC}; \qquad | \cdot LC \\ \omega^2 LC &= 1; \qquad | : \omega^2 C \\ L &= \frac{1}{\omega^2 C}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(l = \frac{g}{\omega^2}\); б) \(t = n\omega^2\); в) \(l = \frac{gT^2}{4\pi^2}\); г) \(L = \frac{1}{\omega^2 C}\).
