Вопросы после параграфа 2.6 на странице 91, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

По определению арифметического квадратного корня \(\sqrt{a}\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Поэтому квадрат корня из неотрицательного числа равен этому числу:

\[\begin{aligned} (\sqrt{3})^2 &= 3; \\ (\sqrt{6})^2 &= 6; \\ (\sqrt{17})^2 &= 17. \end{aligned}\]

В буквенном виде это свойство записывается так: при любом \(a \geqslant 0\) верно равенство \((\sqrt{a})^2 = a\).

Ответ: \((\sqrt{3})^2 = 3\), \((\sqrt{6})^2 = 6\), \((\sqrt{17})^2 = 17\); при любом \(a \geqslant 0\) верно \((\sqrt{a})^2 = a\).

Корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. С помощью букв: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), где \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\).

По этому свойству

\[\sqrt{49 \cdot 16} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{16} = 7 \cdot 4 = 28.\]

Ответ: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\); \(\sqrt{49 \cdot 16} = 28\).

Корень из частного от деления неотрицательного числа на положительное равен частному корней из этих чисел. С помощью букв: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), где \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\).

По этому свойству

\[\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}.\]

Ответ: корень из частного от деления неотрицательного числа на положительное равен частному корней из этих чисел: \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\); \(\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{5}{9}\).

Если равенства \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) и \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) прочитать справа налево, получатся правила умножения и деления корней:

\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\), где \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\);

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\), где \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\).

По этим правилам

\[\begin{aligned} \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} &= \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9; \\ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}} &= \sqrt{\frac{3}{27}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\); \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) при \(a \geqslant 0\) и \(b > 0\); \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = 9\), \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}} = \frac{1}{3}\).

Подкоренное число представляют в виде произведения, один из множителей которого — квадрат числа: \(63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7\). По свойству корня из произведения \(\sqrt{3^2 \cdot 7} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7}\), а \(\sqrt{3^2} = 3\), поэтому число 3 записывают перед знаком корня, а под корнем остаётся множитель 7:

\[\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}.\]

Говорят, что множитель 3 вынесли из-под знака корня.

Ответ: подкоренное число раскладывают на множители так, чтобы один из них был квадратом числа, и по свойству корня из произведения извлекают из него корень: \(\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\) — множитель 3 вынесен из-под знака корня.

Положительный множитель записывают в виде корня из его квадрата и пользуются правилом умножения корней:

\[3\sqrt{5} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{45}.\]

Под корень можно вносить только положительный множитель: значение корня неотрицательно, а \(-2\sqrt{7} < 0\). Поэтому минус остаётся перед корнем, а под корень вносится число 2:

\[-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}.\]

Ответ: \(3\sqrt{5} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45}\) — положительный множитель записывают как корень из его квадрата и перемножают корни; \(-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}\) — минус под корень не вносят, он остаётся перед корнем.