Страница 85 номер 2.80, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. Известно, что \(a^2 + b^2 = 41\) и \(ab = 20\). Найдём \(a + b\). Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим \(2ab = 40\). Сложив это равенство с первым, получим
\[a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,\] \[(a + b)^2 = 81,\] \[a + b = 9 \text{ или } a + b = -9.\]
Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:
а) положительное значение суммы \(a + b\), если \(a^2 + b^2 = 82\) и \(ab = 9\);
б) значения разности \(a - b\), если \(a^2 + b^2 = 106\) и \(ab = 45\);
в) отрицательное значение разности \(a - b\), если \(a^2 + b^2 = 72\) и \(ab = 18\);
г) значения суммы \(a + b\), если \((a - b)^2 = 5\) и \(ab = 1\);
д) положительное значение разности \(a - b\), если \(a + b = 8\) и \(a^2 + b^2 = 40\).
а) \[\begin{aligned} 2ab &= 18; \\ a^2 + b^2 + 2ab &= 82 + 18; \\ (a + b)^2 &= 100. \end{aligned}\] Значит, \(a + b = 10\) или \(a + b = -10\); положительное значение суммы равно 10.
б) \[\begin{aligned} 2ab &= 90; \\ a^2 + b^2 - 2ab &= 106 - 90; \\ (a - b)^2 &= 16. \end{aligned}\] Значит, \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\).
в) \[\begin{aligned} 2ab &= 36; \\ a^2 + b^2 - 2ab &= 72 - 36; \\ (a - b)^2 &= 36. \end{aligned}\] Значит, \(a - b = 6\) или \(a - b = -6\); отрицательное значение разности равно \(-6\).
г) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), поэтому \(a^2 - 2ab + b^2 = 5\). \[\begin{aligned} 4ab &= 4; \\ a^2 - 2ab + b^2 + 4ab &= 5 + 4; \\ a^2 + 2ab + b^2 &= 9; \\ (a + b)^2 &= 9. \end{aligned}\] Значит, \(a + b = 3\) или \(a + b = -3\).
д) \((a + b)^2 = 64\), то есть \(a^2 + 2ab + b^2 = 64\). \[\begin{aligned} 2ab &= 64 - 40 = 24; \\ a^2 + b^2 - 2ab &= 40 - 24; \\ (a - b)^2 &= 16. \end{aligned}\] Значит, \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\); положительное значение разности равно 4.
Ответ: а) \(a + b = 10\); б) \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\); в) \(a - b = -6\); г) \(a + b = 3\) или \(a + b = -3\); д) \(a - b = 4\).
РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. Известно, что \(a^2 + b^2 = 41\) и \(ab = 20\). Найдём \(a + b\). Чтобы решить задачу, умножим обе части второго равенства на 2, получим \(2ab = 40\). Сложив это равенство с первым, получим
\[a^2 + b^2 + 2ab = 40 + 41,\] \[(a + b)^2 = 81,\] \[a + b = 9 \text{ или } a + b = -9.\]
Пользуясь рассмотренным приёмом, найдите:
а) положительное значение суммы \(a + b\), если \(a^2 + b^2 = 82\) и \(ab = 9\);
б) значения разности \(a - b\), если \(a^2 + b^2 = 106\) и \(ab = 45\);
в) отрицательное значение разности \(a - b\), если \(a^2 + b^2 = 72\) и \(ab = 18\);
г) значения суммы \(a + b\), если \((a - b)^2 = 5\) и \(ab = 1\);
д) положительное значение разности \(a - b\), если \(a + b = 8\) и \(a^2 + b^2 = 40\).
а) Умножим обе части равенства \(ab = 9\) на 2: \(2ab = 18\). Сложим это равенство с равенством \(a^2 + b^2 = 82\): \[\begin{aligned} a^2 + b^2 + 2ab &= 82 + 18; \\ (a + b)^2 &= 100. \end{aligned}\] Число \(a + b\) — квадратный корень из 100, поэтому \(a + b = 10\) или \(a + b = -10\). Положительное значение суммы равно 10.
б) Умножим обе части равенства \(ab = 45\) на 2: \(2ab = 90\). Вычтем это равенство из равенства \(a^2 + b^2 = 106\): \[\begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab &= 106 - 90; \\ (a - b)^2 &= 16. \end{aligned}\] Число \(a - b\) — квадратный корень из 16, поэтому \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\).
в) Умножим обе части равенства \(ab = 18\) на 2: \(2ab = 36\). Вычтем это равенство из равенства \(a^2 + b^2 = 72\): \[\begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab &= 72 - 36; \\ (a - b)^2 &= 36. \end{aligned}\] Значит, \(a - b = 6\) или \(a - b = -6\). Отрицательное значение разности равно \(-6\).
г) По формуле квадрата разности \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), поэтому \(a^2 - 2ab + b^2 = 5\). Умножим обе части равенства \(ab = 1\) на 4: \(4ab = 4\). Сложим два последних равенства: \[\begin{aligned} a^2 - 2ab + b^2 + 4ab &= 5 + 4; \\ a^2 + 2ab + b^2 &= 9; \\ (a + b)^2 &= 9. \end{aligned}\] Значит, \(a + b = 3\) или \(a + b = -3\).
д) Найдём произведение \(2ab\). Так как \(a + b = 8\), то \((a + b)^2 = 64\), то есть \(a^2 + 2ab + b^2 = 64\). Вычтем из этого равенства равенство \(a^2 + b^2 = 40\): \[2ab = 64 - 40 = 24.\] Вычтем равенство \(2ab = 24\) из равенства \(a^2 + b^2 = 40\): \[\begin{aligned} a^2 + b^2 - 2ab &= 40 - 24; \\ (a - b)^2 &= 16. \end{aligned}\] Значит, \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\). Положительное значение разности равно 4.
Ответ: а) \(a + b = 10\); б) \(a - b = 4\) или \(a - b = -4\); в) \(a - b = -6\); г) \(a + b = 3\) или \(a + b = -3\); д) \(a - b = 4\).
