Страница 92 номер 2.102, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Вычислите (2.102—2.103).
а) \(\sqrt{24^2 \cdot 3^2}\); в) \(\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6}\); д) \(\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}}\);
б) \(\sqrt{13^2 \cdot 2^6}\); г) \(\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8}\); е) \(\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}}\).
а)
\[\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{24^2} \cdot \sqrt{3^2} = 24 \cdot 3 = 72.\]
б)
\[\sqrt{13^2 \cdot 2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^6} = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104.\]
в)
\[\begin{aligned} &\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^6} = {} \\ &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 3 \cdot 125 = 1500. \end{aligned}\]
г)
\[\begin{aligned} &\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} = {} \\ &= 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4 = 9 \cdot 25 \cdot 16 = 3600. \end{aligned}\]
д)
\[\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^8}}{\sqrt{5^2}} = \frac{3 \cdot 2^4}{5} = \frac{48}{5} = 9{,}6.\]
е)
\[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt{3^4}}{\sqrt{2^6} \cdot \sqrt{5^6}} = \frac{3^2}{2^3 \cdot 5^3} = {} \\ &= \frac{9}{8 \cdot 125} = \frac{9}{1000} = 0{,}009. \end{aligned}\]
Ответ: а) 72; б) 104; в) 1500; г) 3600; д) \(9{,}6\); е) \(0{,}009\).
Вычислите (2.102—2.103).
а) \(\sqrt{24^2 \cdot 3^2}\); в) \(\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6}\); д) \(\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}}\);
б) \(\sqrt{13^2 \cdot 2^6}\); г) \(\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8}\); е) \(\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}}\).
По свойствам корня из произведения и корня из частного извлечём корень из каждого множителя, а в пунктах д) и е) — из числителя и из знаменателя. Корень из степени неотрицательного числа с чётным показателем равен степени того же числа с вдвое меньшим показателем: \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\) при \(a \geqslant 0\).
а)
\[\sqrt{24^2 \cdot 3^2} = \sqrt{24^2} \cdot \sqrt{3^2} = 24 \cdot 3 = 72.\]
б)
\[\sqrt{13^2 \cdot 2^6} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{2^6} = 13 \cdot 2^3 = 13 \cdot 8 = 104.\]
в)
\[\begin{aligned} &\sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^6} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^6} = {} \\ &= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 3 \cdot 125 = 1500. \end{aligned}\]
г)
\[\begin{aligned} &\sqrt{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^8} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2^8} = {} \\ &= 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^4 = 9 \cdot 25 \cdot 16 = 3600. \end{aligned}\]
д)
\[\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^2}} = \frac{\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^8}}{\sqrt{5^2}} = \frac{3 \cdot 2^4}{5} = \frac{48}{5} = 9{,}6.\]
е)
\[\begin{aligned} &\sqrt{\frac{3^4}{2^6 \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt{3^4}}{\sqrt{2^6} \cdot \sqrt{5^6}} = \frac{3^2}{2^3 \cdot 5^3} = {} \\ &= \frac{9}{8 \cdot 125} = \frac{9}{1000} = 0{,}009. \end{aligned}\]
Ответ: а) 72; б) 104; в) 1500; г) 3600; д) \(9{,}6\); е) \(0{,}009\).
