Страница 94 номер 2.111, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Являются ли данные числа взаимно обратными:
а) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) и \(\frac{5}{\sqrt{5}}\); б) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sqrt{7}\) и \(\frac{\sqrt{7}}{7}\); г) \(\frac{6}{\sqrt{7}}\) и \(\frac{\sqrt{6}}{7}\)?
Указание. Проверьте, равно ли произведение данных чисел единице.
а) \[\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5}{5} = 1.\] Произведение равно единице — числа взаимно обратные.
б) \[\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{6}.\] Так как \(6 < 36\), то \(\sqrt{6} < \sqrt{36} = 6\): числитель меньше знаменателя, произведение меньше единицы — числа не являются взаимно обратными.
в) \[\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{(\sqrt{7})^2}{7} = \frac{7}{7} = 1.\] Произведение равно единице — числа взаимно обратные.
г) \[\frac{6}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{7} = \frac{6\sqrt{6}}{7\sqrt{7}}.\] \(6\sqrt{6} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{216}\), \(7\sqrt{7} = \sqrt{49 \cdot 7} = \sqrt{343}\). Так как \(216 < 343\), то числитель меньше знаменателя, произведение меньше единицы — числа не являются взаимно обратными.
Ответ: а) являются; б) не являются; в) являются; г) не являются.
Являются ли данные числа взаимно обратными:
а) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) и \(\frac{5}{\sqrt{5}}\); б) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\); в) \(\sqrt{7}\) и \(\frac{\sqrt{7}}{7}\); г) \(\frac{6}{\sqrt{7}}\) и \(\frac{\sqrt{6}}{7}\)?
Указание. Проверьте, равно ли произведение данных чисел единице.
Два числа взаимно обратны, если их произведение равно единице. Найдём произведение каждой пары. При \(a \geqslant 0\) верно равенство \((\sqrt{a})^2 = a\), а при \(a \geqslant 0\) и \(b \geqslant 0\) — равенство \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\). Из двух корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число: квадраты этих корней равны подкоренным числам, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.
а) \[\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{(\sqrt{5})^2} = \frac{5}{5} = 1.\] Произведение равно единице — числа взаимно обратные.
б) \[\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{6}.\] Так как \(6 < 36\), то \(\sqrt{6} < \sqrt{36} = 6\): числитель меньше знаменателя, произведение меньше единицы — числа не являются взаимно обратными.
в) \[\sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{(\sqrt{7})^2}{7} = \frac{7}{7} = 1.\] Произведение равно единице — числа взаимно обратные.
г) \[\frac{6}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{7} = \frac{6\sqrt{6}}{7\sqrt{7}}.\] Внесём множители под знак корня: \(6\sqrt{6} = \sqrt{36 \cdot 6} = \sqrt{216}\), \(7\sqrt{7} = \sqrt{49 \cdot 7} = \sqrt{343}\). Так как \(216 < 343\), то числитель меньше знаменателя, произведение меньше единицы — числа не являются взаимно обратными.
Ответ: а) являются; б) не являются; в) являются; г) не являются.
