Страница 85 номер 2.81, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Решите уравнение, воспользовавшись определением арифметического квадратного корня (если корни есть, сделайте проверку):
а) \(\sqrt{x - 5} = 2\); в) \(7 + \sqrt{x} = 3\); д) \(\sqrt{x^2 - 36} = 8\);
б) \(\sqrt{x + 4} = 1\); г) \(\sqrt{x + 16} - 4 = 0\); е) \(\sqrt{x^2 + 20} = 4\).
а) Число 2 неотрицательно, поэтому \(x - 5 = 2^2\): \[\begin{aligned} x - 5 &= 4; \\ x &= 9. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2\).
б) Число 1 неотрицательно, поэтому \(x + 4 = 1^2\): \[\begin{aligned} x + 4 &= 1; \\ x &= -3. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1\).
в) \[\begin{aligned} 7 + \sqrt{x} &= 3; \\ \sqrt{x} &= -4. \end{aligned}\] Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение корней не имеет.
г) \[\begin{aligned} \sqrt{x + 16} - 4 &= 0; \\ \sqrt{x + 16} &= 4. \end{aligned}\] Число 4 неотрицательно, поэтому \(x + 16 = 4^2\): \[\begin{aligned} x + 16 &= 16; \\ x &= 0. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{0 + 16} - 4 = 4 - 4 = 0\).
д) Число 8 неотрицательно, поэтому \(x^2 - 36 = 8^2\): \[\begin{aligned} x^2 - 36 &= 64; \\ x^2 &= 100; \\ x &= 10 \text{ или } x = -10. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{64} = 8\);
\(\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{64} = 8\).
е) Число 4 неотрицательно, поэтому \(x^2 + 20 = 4^2\): \[\begin{aligned} x^2 + 20 &= 16; \\ x^2 &= -4. \end{aligned}\] Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: а) 9; б) \(-3\); в) корней нет; г) 0; д) 10; \(-10\); е) корней нет.
Решите уравнение, воспользовавшись определением арифметического квадратного корня (если корни есть, сделайте проверку):
а) \(\sqrt{x - 5} = 2\); в) \(7 + \sqrt{x} = 3\); д) \(\sqrt{x^2 - 36} = 8\);
б) \(\sqrt{x + 4} = 1\); г) \(\sqrt{x + 16} - 4 = 0\); е) \(\sqrt{x^2 + 20} = 4\).
По определению арифметического квадратного корня равенство \(\sqrt{a} = b\) означает одновременное выполнение двух условий: \(b \geqslant 0\) и \(b^2 = a\).
а) Число 2 неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{x - 5} = 2\) означает, что \(x - 5 = 2^2\): \[\begin{aligned} x - 5 &= 4; \\ x &= 9. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2\).
б) Число 1 неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{x + 4} = 1\) означает, что \(x + 4 = 1^2\): \[\begin{aligned} x + 4 &= 1; \\ x &= -3. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{-3 + 4} = \sqrt{1} = 1\).
в) \[\begin{aligned} 7 + \sqrt{x} &= 3; \\ \sqrt{x} &= -4. \end{aligned}\] Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение корней не имеет.
г) \[\begin{aligned} \sqrt{x + 16} - 4 &= 0; \\ \sqrt{x + 16} &= 4. \end{aligned}\] Число 4 неотрицательно, поэтому \(x + 16 = 4^2\): \[\begin{aligned} x + 16 &= 16; \\ x &= 0. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{0 + 16} - 4 = 4 - 4 = 0\).
д) Число 8 неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{x^2 - 36} = 8\) означает, что \(x^2 - 36 = 8^2\): \[\begin{aligned} x^2 - 36 &= 64; \\ x^2 &= 100; \\ x &= 10 \text{ или } x = -10. \end{aligned}\]
Проверка: \(\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{64} = 8\);
\(\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{64} = 8\).
е) Число 4 неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{x^2 + 20} = 4\) означает, что \(x^2 + 20 = 4^2\): \[\begin{aligned} x^2 + 20 &= 16; \\ x^2 &= -4. \end{aligned}\] Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ: а) 9; б) \(-3\); в) корней нет; г) 0; д) 10; \(-10\); е) корней нет.
