Страница 84 номер 2.75, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.75—2.76)
а) Составьте формулу для вычисления площади \(S\) закрашенной фигуры (рис. 2.27). Выразите из этой формулы радиус круга.
б) Составьте формулу для вычисления площади \(S\) закрашенной фигуры (рис. 2.28). Выразите из этой формулы радиус большого круга и радиус маленького круга.
а) Окружность касается всех сторон квадрата, поэтому сторона квадрата равна диаметру круга, то есть \(2R\). Фигура — квадрат без круга: площадь квадрата — \((2R)^2 = 4R^2\), площадь круга — \(\pi R^2\), поэтому \(S = 4R^2 - \pi R^2 = (4 - \pi)R^2\).
Число \(4 - \pi\) положительно, так как \(\pi \approx 3{,}14\): \[\begin{aligned} S &= (4 - \pi)R^2; \qquad | : (4 - \pi) \\ R^2 &= \frac{S}{4 - \pi}. \end{aligned}\]
Радиус \(R\) положителен, поэтому \(R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}\).
б) Фигура — кольцо: большой круг радиуса \(R\) без маленького круга радиуса \(r\), поэтому \(S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\).
\[\begin{aligned} S &= \pi(R^2 - r^2); \qquad | : \pi \\ \frac{S}{\pi} &= R^2 - r^2. \end{aligned}\]
Отсюда \(R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2\) и \(r^2 = R^2 - \frac{S}{\pi}\); радиусы положительны, поэтому \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}\) и \(r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}\).
Ответ: а) \(S = (4 - \pi)R^2\), \(R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}\); б) \(S = \pi(R^2 - r^2)\), \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}\), \(r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}\).
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.75—2.76)
а) Составьте формулу для вычисления площади \(S\) закрашенной фигуры (рис. 2.27). Выразите из этой формулы радиус круга.
б) Составьте формулу для вычисления площади \(S\) закрашенной фигуры (рис. 2.28). Выразите из этой формулы радиус большого круга и радиус маленького круга.
а) Окружность вписана в квадрат и касается всех его сторон, поэтому сторона квадрата равна диаметру круга, то есть \(2R\). Закрашенная фигура — квадрат без круга, поэтому её площадь равна разности площади квадрата \((2R)^2 = 4R^2\) и площади круга \(\pi R^2\): \(S = 4R^2 - \pi R^2 = (4 - \pi)R^2\).
Чтобы выразить радиус, разделим обе части формулы на число \(4 - \pi\) (оно положительно, так как \(\pi \approx 3{,}14\)): \[\begin{aligned} S &= (4 - \pi)R^2; \qquad | : (4 - \pi) \\ R^2 &= \frac{S}{4 - \pi}. \end{aligned}\] Радиус \(R\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{S}{4 - \pi}\), поэтому по определению арифметического квадратного корня \(R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}\).
б) Закрашенная фигура — кольцо: большой круг радиуса \(R\) без маленького круга радиуса \(r\). Её площадь равна разности площадей кругов: \(S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)\).
Разделим обе части формулы на \(\pi\): \[\begin{aligned} S &= \pi(R^2 - r^2); \qquad | : \pi \\ \frac{S}{\pi} &= R^2 - r^2. \end{aligned}\] Отсюда \(R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2\) и \(r^2 = R^2 - \frac{S}{\pi}\). Радиусы — положительные числа, поэтому по определению арифметического квадратного корня \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}\) и \(r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}\).
Ответ: а) \(S = (4 - \pi)R^2\), \(R = \sqrt{\frac{S}{4 - \pi}}\); б) \(S = \pi(R^2 - r^2)\), \(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}\), \(r = \sqrt{R^2 - \frac{S}{\pi}}\).
