Страница 93 номер 2.110, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Сравните значения выражений:
а) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\); в) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}\) и \(\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\);
б) \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}\) и \(\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\); г) \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\) и \(\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
а) \[\begin{aligned} \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} &= \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36}; \\ \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} &= \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}. \end{aligned}\] Так как \(36 > 35\), то \(\sqrt{36} > \sqrt{35}\), то есть \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\).
б) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} &= \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{12}}; \\ \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} &= \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12}}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\).
в) \[\begin{aligned} \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} &= \sqrt{\frac{72}{12}} = \sqrt{6}; \\ \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}} &= \sqrt{\frac{35}{5}} = \sqrt{7}. \end{aligned}\] Так как \(6 < 7\), то \(\sqrt{6} < \sqrt{7}\), то есть \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\).
г) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} &= \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}; \\ \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} &= \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{4}}. \end{aligned}\] Так как \(\frac{1}{3} > \frac{1}{4}\), то \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{4}}\), то есть \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
Ответ: а) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\); б) \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\); в) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\); г) \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
Сравните значения выражений:
а) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\); в) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}}\) и \(\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\);
б) \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}}\) и \(\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\); г) \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\) и \(\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
Перемножим и разделим корни по правилам умножения и деления корней (все подкоренные числа положительны), а затем сравним полученные корни. Из двух корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число: квадраты этих корней равны подкоренным числам, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.
а) \[\begin{aligned} \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} &= \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36}; \\ \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} &= \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}. \end{aligned}\] Так как \(36 > 35\), то \(\sqrt{36} > \sqrt{35}\), то есть \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\).
б) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} &= \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{12}}; \\ \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} &= \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12}}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\).
в) \[\begin{aligned} \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} &= \sqrt{\frac{72}{12}} = \sqrt{6}; \\ \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}} &= \sqrt{\frac{35}{5}} = \sqrt{7}. \end{aligned}\] Так как \(6 < 7\), то \(\sqrt{6} < \sqrt{7}\), то есть \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\).
г) \[\begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} &= \sqrt{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{3}}; \\ \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} &= \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{4}}. \end{aligned}\] Так как \(\frac{1}{3} > \frac{1}{4}\), то \(\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{4}}\), то есть \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
Ответ: а) \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} > \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}\); б) \(\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}\); в) \(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{12}} < \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{5}}\); г) \(\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} > \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}\).
