Страница 92 номер 2.101, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 2.100, упростите выражение:
а) \(\sqrt{2^{22}}\); б) \(\sqrt{3^{14}}\); в) \(\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}\); г) \(\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}\).
а)
\[\sqrt{2^{22}} = \sqrt{2^{2 \cdot 11}} = 2^{11}.\]
б)
\[\sqrt{3^{14}} = \sqrt{3^{2 \cdot 7}} = 3^7.\]
в)
\[\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} = \sqrt{2^{100}} \cdot \sqrt{3^{50}} = 2^{50} \cdot 3^{25}.\]
г)
\[\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} = \sqrt{5^{28}} \cdot \sqrt{2^{20}} = 5^{14} \cdot 2^{10}.\]
Ответ: а) \(2^{11}\); б) \(3^7\); в) \(2^{50} \cdot 3^{25}\); г) \(5^{14} \cdot 2^{10}\).
Пользуясь свойством, доказанным в упражнении 2.100, упростите выражение:
а) \(\sqrt{2^{22}}\); б) \(\sqrt{3^{14}}\); в) \(\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}}\); г) \(\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}}\).
Воспользуемся свойством \(\sqrt{a^{2n}} = a^n\), верным при \(a \geqslant 0\) и натуральном \(n\), а в пунктах в) и г) — ещё и свойством корня из произведения.
а)
\[\sqrt{2^{22}} = \sqrt{2^{2 \cdot 11}} = 2^{11}.\]
б)
\[\sqrt{3^{14}} = \sqrt{3^{2 \cdot 7}} = 3^7.\]
в)
\[\sqrt{2^{100} \cdot 3^{50}} = \sqrt{2^{100}} \cdot \sqrt{3^{50}} = 2^{50} \cdot 3^{25}.\]
г)
\[\sqrt{5^{28} \cdot 2^{20}} = \sqrt{5^{28}} \cdot \sqrt{2^{20}} = 5^{14} \cdot 2^{10}.\]
Ответ: а) \(2^{11}\); б) \(3^7\); в) \(2^{50} \cdot 3^{25}\); г) \(5^{14} \cdot 2^{10}\).
