Вопросы после параграфа 2.5 на странице 87, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Глава 2. Квадратные корни. 2.5. График зависимости $y = \sqrt{x}$. Страница 87, вопросы после параграфа 2.5

1. Постройте график зависимости $y = \sqrt{x}$, используя таблицу значений $x$ и $y$, приведённую в учебном пособии (фрагмент 1). Найдите по графику значения $\sqrt{x}$, если $x = 4$; 5; 8.

Значения $x$ берём только неотрицательные: при отрицательных $x$ выражение $\sqrt{x}$ смысла не имеет. Таблица значений (значения $y$ — с точностью до десятых):

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & 1 & 1{,}4 & 1{,}7 & 2 & 2{,}2 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline y & 2{,}4 & 2{,}6 & 2{,}8 & 3 & 3{,}2 \\ \hline \end{array}\]

Значения $\sqrt{x}$ при $x = 4$; 5; 8 — ординаты точек графика с этими абсциссами:

график

Ответ: $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{5} \approx 2{,}2$; $\sqrt{8} \approx 2{,}8$.

2. Относительно какой прямой симметричны графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$, где $x \ge 0$? Для точки $(2;\ 4)$, принадлежащей параболе $y = x^2$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую графику зависимости $y = \sqrt{x}$. Для точки $(3;\ \sqrt{3})$, принадлежащей графику зависимости $y = \sqrt{x}$, назовите симметричную ей точку, принадлежащую параболе $y = x^2$.

Графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$, где $x \geqslant 0$, симметричны относительно прямой $y = x$; относительно неё симметричны точки $(a; b)$ и $(b; a)$.

Точке $(2; 4)$ параболы симметрична точка $(4; 2)$; она принадлежит графику зависимости $y = \sqrt{x}$, так как $\sqrt{4} = 2$.

Точке $(3; \sqrt{3})$ графика зависимости $y = \sqrt{x}$ симметрична точка $(\sqrt{3}; 3)$; она принадлежит параболе $y = x^2$, так как $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Ответ: относительно прямой $y = x$; точке $(2; 4)$ симметрична точка $(4; 2)$ графика зависимости $y = \sqrt{x}$; точке $(3; \sqrt{3})$ симметрична точка $(\sqrt{3}; 3)$ параболы $y = x^2$.

3. а) Опишите свойства графика зависимости $y = \sqrt{x}$ (фрагмент 3). Пересекает ли этот график прямая $y = 10$; $y = -10$? б) Опираясь на рисунок 2.30, опишите свойства графика зависимости $y = x^2$, где $x \ge 0$. В качестве образца используйте описание свойств графика зависимости $y = \sqrt{x}$ (см. фрагмент 3).

а) Свойства графика зависимости $y = \sqrt{x}$:

1) график целиком расположен в первой координатной четверти, начало координат принадлежит графику;

2) ось $y$ — касательная к графику в точке $O(0; 0)$;

3) при движении по оси $x$ слева направо график поднимается, подъём хотя и замедляется, но неограничен: график пересекает любую горизонтальную прямую, расположенную выше оси $x$.

Прямая $y = 10$ расположена выше оси $x$, поэтому она пересекает график: $\sqrt{x} = 10$ при $x = 10^2 = 100$, точка пересечения — $(100; 10)$.

Прямая $y = -10$ расположена ниже оси $x$, а значение $\sqrt{x}$ не бывает отрицательным, поэтому прямая $y = -10$ график не пересекает.

б) График зависимости $y = x^2$, где $x \geqslant 0$, симметричен графику зависимости $y = \sqrt{x}$ относительно прямой $y = x$. При этой симметрии первая координатная четверть и начало координат переходят в себя, а ось $y$ — в ось $x$, поэтому свойства графика такие:

1) график целиком расположен в первой координатной четверти, начало координат принадлежит графику;

2) ось $x$ — касательная к графику в точке $O(0; 0)$;

3) при движении по оси $x$ слева направо график поднимается, подъём ускоряется и неограничен: при $x = 0$; 1; 2; 3 значения $y$ равны 0; 1; 4; 9 — ордината растёт на 1, на 3, на 5; график пересекает любую горизонтальную прямую $y = c$, где $c > 0$, — в точке $(\sqrt{c}; c)$.

Ответ: а) график целиком расположен в первой координатной четверти и проходит через начало координат, ось $y$ — касательная к нему в точке $O$, при движении слева направо график неограниченно поднимается, но всё медленнее; прямая $y = 10$ пересекает график в точке $(100; 10)$, прямая $y = -10$ его не пересекает; б) график целиком расположен в первой координатной четверти и проходит через начало координат, ось $x$ — касательная к нему в точке $O$, при движении слева направо график неограниченно поднимается, причём всё быстрее.

Отметим точки с координатами из таблицы и проведём через них от начала координат плавную линию. Значения $\sqrt{x}$ при $x = 4$; 5; 8 — ординаты точек графика с этими абсциссами:

график

Ответ: $\sqrt{4} = 2$; $\sqrt{5} \approx 2{,}2$; $\sqrt{8} \approx 2{,}8$.

Графики зависимостей $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$, где $x \geqslant 0$, симметричны относительно прямой $y = x$. Относительно этой прямой симметричны точки $(a; b)$ и $(b; a)$, координаты которых различаются только порядком.

а) Свойства графика зависимости $y = \sqrt{x}$:

1) график целиком расположен в первой координатной четверти, причём начало координат принадлежит графику;

2) ось $y$ является касательной к графику в точке $O(0; 0)$;

3) при движении по оси $x$ слева направо график поднимается вверх, причём этот подъём хотя и замедляется, но неограничен: график пересекает любую горизонтальную прямую, расположенную выше оси $x$.

Прямая $y = 10$ расположена выше оси $x$, поэтому она пересекает график: $\sqrt{x} = 10$ при $x = 10^2 = 100$, точка пересечения — $(100; 10)$. Прямая $y = -10$ расположена ниже оси $x$, а точки графика — не ниже её: значение $\sqrt{x}$ не бывает отрицательным. Поэтому прямая $y = -10$ график не пересекает.

1) график целиком расположен в первой координатной четверти, причём начало координат принадлежит графику;

2) ось $x$ является касательной к графику в точке $O(0; 0)$;

3) при движении по оси $x$ слева направо график поднимается вверх, причём этот подъём ускоряется и неограничен: при $x = 0$; 1; 2; 3 значения $y$ равны 0; 1; 4; 9 — ордината растёт на 1, на 3, на 5; график пересекает любую горизонтальную прямую $y = c$, где $c > 0$, — в точке $(\sqrt{c}; c)$.

Номер 2.83 Номер 2.84

смотреть все номера