Страница 82 номер 2.65, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Найдите квадратные корни из заданных чисел и в каждом случае назовите арифметический корень:
а) 16; 100; 10; 18; 83;
б) \(0{,}01\); \(0{,}25\); \(5{,}6\); \(6{,}4\);
в) \(\frac{1}{4}\); \(\frac{2}{3}\); \(2\frac{1}{4}\); \(2\frac{7}{9}\).
а) Так как \(4^2 = 16\), квадратные корни из 16 — числа 4 и \(-4\), арифметический корень \(\sqrt{16} = 4\). Так как \(10^2 = 100\), квадратные корни из 100 — числа 10 и \(-10\), арифметический корень \(\sqrt{100} = 10\). Квадратные корни из 10 — числа \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{10}\), из 18 — числа \(\sqrt{18}\) и \(-\sqrt{18}\), из 83 — числа \(\sqrt{83}\) и \(-\sqrt{83}\); арифметические корни — \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\) и \(\sqrt{83}\).
б) Так как \(0{,}1^2 = 0{,}01\), квадратные корни из \(0{,}01\) — числа \(0{,}1\) и \(-0{,}1\), арифметический корень \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). Так как \(0{,}5^2 = 0{,}25\), квадратные корни из \(0{,}25\) — числа \(0{,}5\) и \(-0{,}5\), арифметический корень \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Квадратные корни из \(5{,}6\) — числа \(\sqrt{5{,}6}\) и \(-\sqrt{5{,}6}\), из \(6{,}4\) — числа \(\sqrt{6{,}4}\) и \(-\sqrt{6{,}4}\) (число \(0{,}8\) не подходит: \(0{,}8^2 = 0{,}64\)); арифметические корни — \(\sqrt{5{,}6}\) и \(\sqrt{6{,}4}\).
в) Так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\), квадратные корни из \(\frac{1}{4}\) — числа \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\), арифметический корень \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Квадратные корни из \(\frac{2}{3}\) — числа \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\), арифметический корень — \(\sqrt{\frac{2}{3}}\). Так как \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\), квадратные корни из \(2\frac{1}{4}\) — числа \(\frac{3}{2}\) и \(-\frac{3}{2}\), арифметический корень \(\sqrt{2\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}\). Так как \(2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2\), квадратные корни из \(2\frac{7}{9}\) — числа \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\), арифметический корень \(\sqrt{2\frac{7}{9}} = \frac{5}{3}\).
Ответ: а) 4 и \(-4\), 10 и \(-10\), \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\) и \(-\sqrt{18}\), \(\sqrt{83}\) и \(-\sqrt{83}\); арифметические корни — 4, 10, \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{83}\); б) \(0{,}1\) и \(-0{,}1\), \(0{,}5\) и \(-0{,}5\), \(\sqrt{5{,}6}\) и \(-\sqrt{5{,}6}\), \(\sqrt{6{,}4}\) и \(-\sqrt{6{,}4}\); арифметические корни — \(0{,}1\), \(0{,}5\), \(\sqrt{5{,}6}\), \(\sqrt{6{,}4}\); в) \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\frac{3}{2}\) и \(-\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\); арифметические корни — \(\frac{1}{2}\), \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\).
Найдите квадратные корни из заданных чисел и в каждом случае назовите арифметический корень:
а) 16; 100; 10; 18; 83;
б) \(0{,}01\); \(0{,}25\); \(5{,}6\); \(6{,}4\);
в) \(\frac{1}{4}\); \(\frac{2}{3}\); \(2\frac{1}{4}\); \(2\frac{7}{9}\).
Квадратные корни из положительного числа \(a\) — два противоположных числа \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); арифметический из них — неотрицательный корень \(\sqrt{a}\).
а) Так как \(4^2 = 16\), квадратные корни из 16 — числа 4 и \(-4\), арифметический корень \(\sqrt{16} = 4\). Так как \(10^2 = 100\), квадратные корни из 100 — числа 10 и \(-10\), арифметический корень \(\sqrt{100} = 10\). Квадратные корни из 10 — числа \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{10}\), из 18 — числа \(\sqrt{18}\) и \(-\sqrt{18}\), из 83 — числа \(\sqrt{83}\) и \(-\sqrt{83}\); арифметические корни — \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\) и \(\sqrt{83}\).
б) Так как \(0{,}1^2 = 0{,}01\), квадратные корни из \(0{,}01\) — числа \(0{,}1\) и \(-0{,}1\), арифметический корень \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\). Так как \(0{,}5^2 = 0{,}25\), квадратные корни из \(0{,}25\) — числа \(0{,}5\) и \(-0{,}5\), арифметический корень \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Квадратные корни из \(5{,}6\) — числа \(\sqrt{5{,}6}\) и \(-\sqrt{5{,}6}\), из \(6{,}4\) — числа \(\sqrt{6{,}4}\) и \(-\sqrt{6{,}4}\) (число \(0{,}8\) не подходит: \(0{,}8^2 = 0{,}64\)); арифметические корни — \(\sqrt{5{,}6}\) и \(\sqrt{6{,}4}\).
в) Так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\), квадратные корни из \(\frac{1}{4}\) — числа \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\), арифметический корень \(\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Квадратные корни из \(\frac{2}{3}\) — числа \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\), арифметический корень — \(\sqrt{\frac{2}{3}}\). Так как \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\), квадратные корни из \(2\frac{1}{4}\) — числа \(\frac{3}{2}\) и \(-\frac{3}{2}\), арифметический корень \(\sqrt{2\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}\). Так как \(2\frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \left(\frac{5}{3}\right)^2\), квадратные корни из \(2\frac{7}{9}\) — числа \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\), арифметический корень \(\sqrt{2\frac{7}{9}} = \frac{5}{3}\).
Ответ: а) 4 и \(-4\), 10 и \(-10\), \(\sqrt{10}\) и \(-\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\) и \(-\sqrt{18}\), \(\sqrt{83}\) и \(-\sqrt{83}\); арифметические корни — 4, 10, \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{83}\); б) \(0{,}1\) и \(-0{,}1\), \(0{,}5\) и \(-0{,}5\), \(\sqrt{5{,}6}\) и \(-\sqrt{5{,}6}\), \(\sqrt{6{,}4}\) и \(-\sqrt{6{,}4}\); арифметические корни — \(0{,}1\), \(0{,}5\), \(\sqrt{5{,}6}\), \(\sqrt{6{,}4}\); в) \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\), \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) и \(-\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\frac{3}{2}\) и \(-\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\); арифметические корни — \(\frac{1}{2}\), \(\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\frac{3}{2}\), \(\frac{5}{3}\).
