Страница 79 номер 2.59, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
На координатной плоскости отмечены точки \(A\) и \(B\). Найдите расстояние между этими точками, если известны их координаты (сделайте рисунок):
1) \(A\) (1; 8), \(B\) (7; 0);
2) \(A\) (1; 3), \(B\) (13; 8);
3) \(A\) (80; 54), \(B\) (83; 50).
Прямая через одну из точек параллельно оси \(y\) и прямая через другую параллельно оси \(x\) перпендикулярны и пересекаются в точке \(C\): треугольник \(ABC\) прямоугольный, \(AB\) — гипотенуза. Катет, параллельный оси \(x\), равен разности абсцисс его концов, а катет, параллельный оси \(y\), — разности ординат (из большей координаты вычитаем меньшую).
1) \(C(1; 0)\): \(AC = 8 - 0 = 8\), \(BC = 7 - 1 = 6\). \[AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.\]
2) \(C(13; 3)\): \(AC = 13 - 1 = 12\), \(BC = 8 - 3 = 5\). \[AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.\]
3) \(C(80; 50)\): \(AC = 54 - 50 = 4\), \(BC = 83 - 80 = 3\). \[AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.\]
Ответ: 1) \(AB = 10\); 2) \(AB = 13\); 3) \(AB = 5\).
ИЩЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
На координатной плоскости отмечены точки \(A\) и \(B\). Найдите расстояние между этими точками, если известны их координаты (сделайте рисунок):
1) \(A\) (1; 8), \(B\) (7; 0);
2) \(A\) (1; 3), \(B\) (13; 8);
3) \(A\) (80; 54), \(B\) (83; 50).
Через одну из точек проведём прямую, параллельную оси \(y\), а через другую — прямую, параллельную оси \(x\). Эти прямые перпендикулярны и пересекаются в точке \(C\), поэтому треугольник \(ABC\) прямоугольный: \(AB\) — гипотенуза, катеты \(AC\) и \(BC\) параллельны осям координат. Длина катета, параллельного оси \(x\), равна разности абсцисс его концов, а катета, параллельного оси \(y\), — разности ординат (из большей координаты вычитаем меньшую). Тогда \(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}\).
1) Прямая через точку \(A\) параллельно оси \(y\) и прямая через точку \(B\) параллельно оси \(x\) пересекаются в точке \(C(1; 0)\): \(AC = 8 - 0 = 8\), \(BC = 7 - 1 = 6\). \[AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.\]
2) Прямая через точку \(B\) параллельно оси \(y\) и прямая через точку \(A\) параллельно оси \(x\) пересекаются в точке \(C(13; 3)\): \(AC = 13 - 1 = 12\), \(BC = 8 - 3 = 5\). \[AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.\]
3) Прямая через точку \(A\) параллельно оси \(y\) и прямая через точку \(B\) параллельно оси \(x\) пересекаются в точке \(C(80; 50)\): \(AC = 54 - 50 = 4\), \(BC = 83 - 80 = 3\). \[AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.\]
Ответ: 1) \(AB = 10\); 2) \(AB = 13\); 3) \(AB = 5\).
