Вопросы после параграфа 2.4 на странице 82, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\).
Ответ: число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\).
Из положительного числа \(a\) существуют два квадратных корня — противоположные числа, их обозначают \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\).
При \(a > 0\) прямая \(y = a\) лежит выше оси \(x\) и пересекает параболу \(y = x^2\) в двух точках, симметричных относительно оси \(y\). Ордината каждой из них равна \(a\), и точки лежат на параболе, поэтому квадрат абсциссы равен \(a\), и абсциссы точек — квадратные корни из \(a\), числа \(-\sqrt{a}\) и \(\sqrt{a}\).
При \(a = 9\) квадратные корни — числа 3 и \(-3\): \(3^2 = 9\) и \((-3)^2 = 9\).
При \(a = 7\) квадратные корни — числа \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\).
Квадрат равен 0 только у числа 0, поэтому квадратный корень из 0 единственный: \(\sqrt{0} = 0\).
Квадрат любого числа либо положителен, либо равен 0, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует; на графике при \(a < 0\) прямая \(y = a\) лежит ниже оси \(x\) и с параболой \(y = x^2\) общих точек не имеет.
Ответ: из положительного числа \(a\) — два квадратных корня, \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); при \(a = 9\) — числа 3 и \(-3\), при \(a = 7\) — числа \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\); квадратный корень из 0 единственный, \(\sqrt{0} = 0\); из отрицательного числа квадратного корня нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
1) Арифметическим квадратным корнем из числа \(a\) называют неотрицательный квадратный корень из \(a\), его обозначают \(\sqrt{a}\).
2) Число \(\sqrt{a}\) неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{a} = b\) означает, что \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\): надо возвести \(b\) в квадрат, сравнить результат с \(a\) и убедиться, что \(b\) неотрицательно.
Равенство \(\sqrt{2{,}5} = 0{,}5\) неверно: \(0{,}5^2 = 0{,}25\), а не \(2{,}5\).
Равенство \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) верно: \(0{,}6^2 = 0{,}36\) и \(0{,}6 > 0\).
Равенство \(\sqrt{0{,}01} = -0{,}1\) неверно: хотя \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\), число \(-0{,}1\) отрицательно.
Ответ: 1) неотрицательный квадратный корень из \(a\), его обозначают \(\sqrt{a}\); 2) равенство \(\sqrt{a} = b\) верно, если \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\); из трёх равенств верно только \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\).
Уравнение \(x^2 = 49\) имеет два корня — числа 7 и \(-7\): \(7^2 = 49\), \((-7)^2 = 49\).
Уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет: квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: например, \(x^2 = 49\) — два корня, 7 и \(-7\); \(x^2 = -9\) — корней нет.
Число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\). Например, квадратные корни из 25 — числа 5 и \(-5\), так как \(5^2 = 25\) и \((-5)^2 = 25\).
Ответ: число \(b\) называют квадратным корнем из числа \(a\), если \(b^2 = a\).
Из положительного числа \(a\) существуют два квадратных корня. Это противоположные числа: один из них положителен, другой отрицателен; их обозначают \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\).
Построим в одной системе координат параболу \(y = x^2\) и горизонтальную прямую \(y = a\), где \(a > 0\). Прямая лежит выше оси \(x\) и пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси \(y\). Ордината каждой из этих точек равна \(a\), и точки лежат на параболе, поэтому квадрат абсциссы каждой точки равен \(a\). Значит, абсциссы точек пересечения — квадратные корни из \(a\), это числа \(-\sqrt{a}\) и \(\sqrt{a}\).
При \(a = 9\) квадратные корни — числа 3 и \(-3\), так как \(3^2 = 9\) и \((-3)^2 = 9\). При \(a = 7\) квадратные корни — числа \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\).
Квадрат равен 0 только у числа 0, поэтому квадратный корень из 0 единственный — это само число 0. Его обозначают \(\sqrt{0}\): \(\sqrt{0} = 0\).
Квадрат любого числа либо положителен, либо равен 0, поэтому нет числа, квадрат которого был бы отрицательным. Значит, квадратного корня из отрицательного числа не существует. На графике это видно так: при \(a < 0\) прямая \(y = a\) лежит ниже оси \(x\) и с параболой \(y = x^2\) общих точек не имеет.
Ответ: из положительного числа \(a\) — два квадратных корня, \(\sqrt{a}\) и \(-\sqrt{a}\); при \(a = 9\) — числа 3 и \(-3\), при \(a = 7\) — числа \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\); квадратный корень из 0 единственный, \(\sqrt{0} = 0\); из отрицательного числа квадратного корня нет, так как квадрат любого числа неотрицателен.
1) Арифметическим квадратным корнем из числа \(a\) называют неотрицательный (положительный или равный 0) квадратный корень из \(a\). Его обозначают \(\sqrt{a}\).
2) Число \(\sqrt{a}\) неотрицательно, поэтому равенство \(\sqrt{a} = b\) означает одновременное выполнение двух условий: \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\). Чтобы проверить такое равенство, надо возвести \(b\) в квадрат, сравнить результат с \(a\) и убедиться, что \(b\) неотрицательно.
Равенство \(\sqrt{2{,}5} = 0{,}5\) неверно: \(0{,}5^2 = 0{,}25\), а не \(2{,}5\).
Равенство \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\) верно: \(0{,}6^2 = 0{,}36\) и \(0{,}6 > 0\).
Равенство \(\sqrt{0{,}01} = -0{,}1\) неверно: хотя \((-0{,}1)^2 = 0{,}01\), число \(-0{,}1\) отрицательно, а \(\sqrt{0{,}01} = 0{,}1\).
Ответ: 1) неотрицательный квадратный корень из \(a\), его обозначают \(\sqrt{a}\); 2) равенство \(\sqrt{a} = b\) верно, если \(b^2 = a\) и \(b \geqslant 0\); из трёх равенств верно только \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\).
Уравнение \(x^2 = a\) имеет два корня, если \(a > 0\), и не имеет корней, если \(a < 0\). Например, уравнение \(x^2 = 49\) имеет два корня — числа 7 и \(-7\) (\(7^2 = 49\), \((-7)^2 = 49\)), а уравнение \(x^2 = -9\) корней не имеет: квадрат числа не может быть отрицательным.
Ответ: например, \(x^2 = 49\) — два корня, 7 и \(-7\); \(x^2 = -9\) — корней нет.
