Страница 79 номер 2.62, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (2.61—2.62)
а) Убедитесь, что \(\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4\). Покажите геометрически, что если \(a\) и \(b\) — положительные числа, то \(\sqrt{a^2 + b^2} < a + b\).
б) Покажите геометрически, что если \(a\), \(b\) и \(c\) — положительные числа, то \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c\).
а) \[\begin{aligned} \sqrt{3^2 + 4^2} &= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5; \\ 3 + 4 &= 7. \end{aligned}\]
\(5 \ne 7\), поэтому \(\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4\).
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(CA = a\) и \(CB = b\) гипотенуза \(AB = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, поэтому \(AB < CA + CB\), то есть \(\sqrt{a^2 + b^2} < a + b\).
б) \(AB = a\), \(BC = b\), \(CC_1 = c\) — рёбра прямоугольного параллелепипеда.
Диагональ основания \(AC\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(ABC\), поэтому \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\) и, как доказано в пункте а), \(AC < a + b\). Ребро \(CC_1\) перпендикулярно основанию, поэтому треугольник \(ACC_1\) прямоугольный с гипотенузой \(AC_1\) — диагональю параллелепипеда: \[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\]
Из треугольника \(ACC_1\) получаем \(AC_1 < AC + CC_1\), и \(AC + CC_1 < a + b + c\). Значит, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c\): диагональ параллелепипеда короче ломаной \(ABCC_1\) из трёх его рёбер.
Ответ: а) \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), а \(3 + 4 = 7\); гипотенуза \(\sqrt{a^2 + b^2}\) прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) меньше суммы двух других сторон \(a + b\); б) диагональ \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) прямоугольного параллелепипеда с рёбрами \(a\), \(b\), \(c\) короче ломаной из трёх его рёбер длиной \(a + b + c\).
РАССУЖДАЕМ (2.61—2.62)
а) Убедитесь, что \(\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4\). Покажите геометрически, что если \(a\) и \(b\) — положительные числа, то \(\sqrt{a^2 + b^2} < a + b\).
б) Покажите геометрически, что если \(a\), \(b\) и \(c\) — положительные числа, то \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c\).
а) \[\begin{aligned} \sqrt{3^2 + 4^2} &= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5; \\ 3 + 4 &= 7. \end{aligned}\]
Так как \(5 \ne 7\), то \(\sqrt{3^2 + 4^2} \ne 3 + 4\).
Построим прямоугольный треугольник \(ABC\) с катетами \(CA = a\) и \(CB = b\). По теореме Пифагора его гипотенуза \(AB = \sqrt{a^2 + b^2}\).
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, поэтому \(AB < CA + CB\), то есть \(\sqrt{a^2 + b^2} < a + b\).
б) Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с рёбрами \(AB = a\), \(BC = b\), \(CC_1 = c\).
Основание параллелепипеда — прямоугольник, его диагональ \(AC\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(ABC\), поэтому \(AC = \sqrt{a^2 + b^2}\) и, как доказано в пункте а), \(AC < a + b\). Ребро \(CC_1\) перпендикулярно основанию, поэтому треугольник \(ACC_1\) прямоугольный с гипотенузой \(AC_1\) — диагональю параллелепипеда: \[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\]
Из треугольника \(ACC_1\) получаем \(AC_1 < AC + CC_1\), и \(AC + CC_1 < a + b + c\). Значит, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} < a + b + c\): диагональ параллелепипеда короче ломаной \(ABCC_1\) из трёх его рёбер.
Ответ: а) \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\), а \(3 + 4 = 7\); гипотенуза \(\sqrt{a^2 + b^2}\) прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) меньше суммы двух других сторон \(a + b\); б) диагональ \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) прямоугольного параллелепипеда с рёбрами \(a\), \(b\), \(c\) короче ломаной из трёх его рёбер длиной \(a + b + c\).
