Страницы 79-80 номер 2.63, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИССЛЕДУЕМ
На рисунке 2.24 шесть отрезков имеют длину, равную 1.
1) Найдите длины отрезков \(AB\), \(AD\), \(AE\), \(AF\), \(AG\).
2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной \(\sqrt{8}\).
3) Отрезки длиной \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{13}\), \(\sqrt{17}\) можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.
1) В треугольнике \(ACB\) угол \(C\) прямой и катеты \(CA = CB = 1\); в каждом следующем треугольнике катеты — гипотенуза предыдущего и отрезок длиной 1, а гипотенуза — следующий отрезок с концом \(A\): \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}; \\ AD &= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \\ AE &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2; \\ AF &= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; \\ AG &= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}. \end{aligned}\]
2) В точке \(G\) восставим к отрезку \(AG\) перпендикуляр \(GH = 1\) и проведём \(AH\), затем в точке \(H\) восставим к отрезку \(AH\) перпендикуляр \(HK = 1\) и проведём \(AK\): \[\begin{aligned} AH &= \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}; \\ AK &= \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 1^2} = \sqrt{7 + 1} = \sqrt{8}. \end{aligned}\]
3) Если натуральное число \(n\) равно сумме квадратов двух натуральных чисел, то \(\sqrt{n}\) — длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными этим числам: \[\begin{aligned} \sqrt{10} &= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{3^2 + 1^2}; \\ \sqrt{13} &= \sqrt{9 + 4} = \sqrt{3^2 + 2^2}; \\ \sqrt{17} &= \sqrt{16 + 1} = \sqrt{4^2 + 1^2}. \end{aligned}\]
Прямоугольные треугольники с катетами 3 и 1, 3 и 2, 4 и 1 строятся на клетчатой бумаге по клеткам.
Ответ: 1) \(AB = \sqrt{2}\), \(AD = \sqrt{3}\), \(AE = 2\), \(AF = \sqrt{5}\), \(AG = \sqrt{6}\); 2) ещё два прямоугольных треугольника с катетами \(\sqrt{6}\) и 1, \(\sqrt{7}\) и 1 дают отрезки \(AH = \sqrt{7}\) и \(AK = \sqrt{8}\); 3) отрезки длиной \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{13}\), \(\sqrt{17}\) — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 3 и 1, 3 и 2, 4 и 1.
ИССЛЕДУЕМ
На рисунке 2.24 шесть отрезков имеют длину, равную 1.
1) Найдите длины отрезков \(AB\), \(AD\), \(AE\), \(AF\), \(AG\).
2) Постройте такую же фигуру в тетради и достройте её так, чтобы получить отрезок длиной \(\sqrt{8}\).
3) Отрезки длиной \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{13}\), \(\sqrt{17}\) можно получить, продолжив построение этой фигуры. Но для этих длин можно применить и более простой приём. Догадайтесь какой и постройте отрезки с указанными длинами.
1) В треугольнике \(ACB\) угол \(C\) прямой и катеты \(CA = CB = 1\). В каждом следующем треугольнике прямой угол образуют гипотенуза предыдущего треугольника и отрезок длиной 1, а гипотенуза — следующий отрезок с концом \(A\): \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}; \\ AD &= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \\ AE &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2; \\ AF &= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; \\ AG &= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}. \end{aligned}\]
2) Достроим фигуру ещё на два шага: в точке \(G\) восставим к отрезку \(AG\) перпендикуляр \(GH = 1\) и проведём \(AH\), затем в точке \(H\) восставим к отрезку \(AH\) перпендикуляр \(HK = 1\) и проведём \(AK\): \[\begin{aligned} AH &= \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}; \\ AK &= \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 1^2} = \sqrt{7 + 1} = \sqrt{8}. \end{aligned}\]
3) Если натуральное число \(n\) равно сумме квадратов двух натуральных чисел, то \(\sqrt{n}\) — длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными этим числам. Числа 10, 13 и 17 так представляются: \[\begin{aligned} \sqrt{10} &= \sqrt{9 + 1} = \sqrt{3^2 + 1^2}; \\ \sqrt{13} &= \sqrt{9 + 4} = \sqrt{3^2 + 2^2}; \\ \sqrt{17} &= \sqrt{16 + 1} = \sqrt{4^2 + 1^2}. \end{aligned}\]
Поэтому отрезки длиной \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{17}\) — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 3 и 1, 3 и 2, 4 и 1; на клетчатой бумаге такие треугольники строятся по клеткам.
Ответ: 1) \(AB = \sqrt{2}\), \(AD = \sqrt{3}\), \(AE = 2\), \(AF = \sqrt{5}\), \(AG = \sqrt{6}\); 2) ещё два прямоугольных треугольника с катетами \(\sqrt{6}\) и 1, \(\sqrt{7}\) и 1 дают отрезки \(AH = \sqrt{7}\) и \(AK = \sqrt{8}\); 3) отрезки длиной \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{13}\), \(\sqrt{17}\) — гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами 3 и 1, 3 и 2, 4 и 1.
