Страница 79 номер 2.61, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (2.61—2.62)
Прямоугольный параллелепипед имеет измерения \(a\), \(b\) и \(c\) (рис. 2.23).
а) Выразите диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда через его измерения.
б) Используя полученную формулу, вычислите \(d\), если \(a = 3\) см, \(b = 4\) см, \(c = 12\) см.
в) Выразите из полученной формулы ребро \(c\). Найдите \(c\), если \(d = 17\) см, \(a = 9\) см, \(b = 12\) см.
а) Основание — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\), его диагональ \(d_1\) (на рисунке — штриховая линия в основании): \(d_1^2 = a^2 + b^2\).
Боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому диагональ \(d\), диагональ основания \(d_1\) и штриховое боковое ребро длиной \(c\) образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой \(d\): \(d^2 = d_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2\), откуда \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\]
б) \[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.\]
в) \(c^2 = d^2 - a^2 - b^2\); ребро \(c\) положительно, поэтому \[\begin{aligned} c &= \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}; \\ c &= \sqrt{17^2 - 9^2 - 12^2} = \sqrt{289 - 81 - 144} = \sqrt{64} = 8. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\); б) \(d = 13\) см; в) \(c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}\), \(c = 8\) см.
РАССУЖДАЕМ (2.61—2.62)
Прямоугольный параллелепипед имеет измерения \(a\), \(b\) и \(c\) (рис. 2.23).
а) Выразите диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда через его измерения.
б) Используя полученную формулу, вычислите \(d\), если \(a = 3\) см, \(b = 4\) см, \(c = 12\) см.
в) Выразите из полученной формулы ребро \(c\). Найдите \(c\), если \(d = 17\) см, \(a = 9\) см, \(b = 12\) см.
а) Нижнее основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\). Его диагональ (на рисунке — штриховая линия в основании) обозначим \(d_1\); по теореме Пифагора \(d_1^2 = a^2 + b^2\).
Диагональ \(d\), диагональ основания \(d_1\) и штриховое боковое ребро длиной \(c\) образуют треугольник. Боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому этот треугольник прямоугольный с гипотенузой \(d\) и \(d^2 = d_1^2 + c^2\). Так как \(d_1^2 = a^2 + b^2\), то \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\), откуда \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.\]
б) \[d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.\]
в) Из равенства \(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\) получаем \(c^2 = d^2 - a^2 - b^2\); ребро \(c\) положительно, поэтому \[c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}.\]
При \(d = 17\), \(a = 9\), \(b = 12\): \[c = \sqrt{17^2 - 9^2 - 12^2} = \sqrt{289 - 81 - 144} = \sqrt{64} = 8.\]
Ответ: а) \(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\); б) \(d = 13\) см; в) \(c = \sqrt{d^2 - a^2 - b^2}\), \(c = 8\) см.
