Страница 78 номер 2.57, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Группа туристов прошла от своего лагеря 1,6 км строго на запад, затем 3,2 км на север, а затем несколько километров на восток и остановилась на ночлег. Точка ночлега находилась в 6,4 км от их лагеря. Сколько километров туристы шли в восточном направлении?
Дано:
\(LA = 1{,}6\) км — путь на запад
\(AB = 3{,}2\) км — путь на север
\(LN = 6{,}4\) км — расстояние от лагеря \(L\) до точки ночлега \(N\)
Найти: \(BN\) — путь на восток.
Решение:
\(K\) — точка прямой \(BN\) строго к северу от лагеря. Туристы шли по сторонам света, поэтому \(LABK\) — прямоугольник: \(BK = LA = 1{,}6\) км, \(LK = AB = 3{,}2\) км, угол \(LKN\) прямой.
\(KN = \sqrt{LN^2 - LK^2} = \sqrt{6{,}4^2 - 3{,}2^2} = \sqrt{40{,}96 - 10{,}24} = \sqrt{30{,}72}\) (км) — катет прямоугольного треугольника \(LKN\).
От точки \(B\) туристы шли на восток, поэтому точка ночлега \(N\) лежит на отрезке \(BK\) или восточнее \(K\). На отрезке \(BK\) её нет: \(KN^2 = 30{,}72 > 2{,}56 = BK^2\), поэтому \(KN > BK\). Значит, \(N\) лежит восточнее \(K\), и точка \(K\) делит путь на восток на отрезки \(BK\) и \(KN\).
\(BN = BK + KN = 1{,}6 + \sqrt{30{,}72} \approx 7{,}1\) (км) — путь на восток.
Ответ: \(1{,}6 + \sqrt{30{,}72} \approx 7{,}1\) км.
Группа туристов прошла от своего лагеря 1,6 км строго на запад, затем 3,2 км на север, а затем несколько километров на восток и остановилась на ночлег. Точка ночлега находилась в 6,4 км от их лагеря. Сколько километров туристы шли в восточном направлении?
Дано:
\(LA = 1{,}6\) км — путь на запад
\(AB = 3{,}2\) км — путь на север
\(LN = 6{,}4\) км — расстояние от лагеря \(L\) до точки ночлега \(N\)
Найти: \(BN\) — путь на восток.
Решение:
Отметим на прямой \(BN\) точку \(K\), лежащую строго к северу от лагеря. Туристы шли по сторонам света, поэтому \(LABK\) — прямоугольник: \(BK = LA = 1{,}6\) км, \(LK = AB = 3{,}2\) км, и угол \(LKN\) прямой.
В прямоугольном треугольнике \(LKN\) гипотенуза \(LN = 6{,}4\) км, катет \(LK = 3{,}2\) км. Из формулы \(LN^2 = LK^2 + KN^2\) выразим катет \(KN\):
\(KN = \sqrt{LN^2 - LK^2} = \sqrt{6{,}4^2 - 3{,}2^2} = \sqrt{40{,}96 - 10{,}24} = \sqrt{30{,}72}\) (км).
Туристы шли от точки \(B\) на восток, поэтому точка ночлега \(N\) лежит на отрезке \(BK\) или восточнее \(K\). На отрезке \(BK\) её нет: \(KN^2 = 30{,}72 > 2{,}56 = BK^2\), поэтому \(KN > BK\). Значит, \(N\) лежит восточнее \(K\), и точка \(K\) делит путь на восток на отрезки \(BK\) и \(KN\).
\(BN = BK + KN = 1{,}6 + \sqrt{30{,}72} \approx 7{,}1\) (км) — путь на восток.
Ответ: \(1{,}6 + \sqrt{30{,}72} \approx 7{,}1\) км.
