Вопросы после параграфа 2.3 на странице 77, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если \(a\) и \(b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза, то \(c^2 = a^2 + b^2\).
\[c = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}.\]
Ответ: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, \(c^2 = a^2 + b^2\); гипотенуза треугольника с катетами 2 и 5 равна \(\sqrt{29}\).
«Пифагорову тройку» образуют целые числа \(a\), \(b\) и \(c\), удовлетворяющие условию \(a^2 + b^2 = c^2\).
\[\begin{aligned} 20^2 + 21^2 &= 400 + 441 = 841; \\ 29^2 &= 841. \end{aligned}\]
Значит, \(20^2 + 21^2 = 29^2\), и числа 20, 21 и 29 образуют «пифагорову тройку».
Ответ: «пифагорова тройка» — целые числа \(a\), \(b\), \(c\), для которых \(a^2 + b^2 = c^2\); числа 20, 21 и 29 её образуют, так как \(20^2 + 21^2 = 841 = 29^2\).
Гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(\sqrt{n}\) и 1 равна \(\sqrt{(\sqrt{n})^2 + 1^2} = \sqrt{n + 1}\), поэтому от отрезка длиной \(\sqrt{n}\) переходят к отрезку длиной \(\sqrt{n + 1}\).
Через точку 1 оси \(y\) проводят прямую, параллельную оси \(x\); первый прямоугольный треугольник имеет катеты 1 и 1, его гипотенуза — \(OA\). Дугой окружности с центром \(O\) и радиусом \(OA\) длину гипотенузы откладывают на оси \(x\), из полученной точки проводят перпендикуляр к оси \(x\) до проведённой прямой и получают вершину \(B\) следующего треугольника с катетами \(OA\) и 1. Повторяя этот шаг, находят гипотенузы: \[\begin{aligned} OA &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}; \\ OB &= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \\ OC &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2; \\ OD &= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; \\ OE &= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}; \\ OF &= \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}. \end{aligned}\]
Ответ: отрезки длиной \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\) — гипотенузы \(OB\), \(OD\), \(OF\) прямоугольных треугольников с катетами \(\sqrt{2}\) и 1, 2 и 1, \(\sqrt{6}\) и 1.
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если \(a\) и \(b\) — катеты прямоугольного треугольника, \(c\) — его гипотенуза, то \[c^2 = a^2 + b^2.\]
Из этой формулы выразим гипотенузу: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). При катетах 2 и 5 получим \[c = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}.\]
Ответ: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, \(c^2 = a^2 + b^2\); гипотенуза треугольника с катетами 2 и 5 равна \(\sqrt{29}\).
«Пифагорову тройку» образуют целые числа \(a\), \(b\) и \(c\), удовлетворяющие условию \(a^2 + b^2 = c^2\); такова, например, тройка 3, 4 и 5 — стороны египетского треугольника.
Проверим это условие для чисел 20, 21 и 29: \[\begin{aligned} 20^2 + 21^2 &= 400 + 441 = 841; \\ 29^2 &= 841. \end{aligned}\]
Значит, \(20^2 + 21^2 = 29^2\), и числа 20, 21 и 29 образуют «пифагорову тройку».
Ответ: «пифагорова тройка» — целые числа \(a\), \(b\), \(c\), для которых \(a^2 + b^2 = c^2\); числа 20, 21 и 29 её образуют, так как \(20^2 + 21^2 = 841 = 29^2\).
Способ основан на теореме Пифагора: гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(\sqrt{n}\) и 1 равна \(\sqrt{(\sqrt{n})^2 + 1^2} = \sqrt{n + 1}\). Поэтому от отрезка длиной \(\sqrt{n}\) можно перейти к отрезку длиной \(\sqrt{n + 1}\).
На координатной плоскости через точку 1 оси \(y\) проводят прямую, параллельную оси \(x\). Первый прямоугольный треугольник имеет катеты 1 и 1, его гипотенуза — \(OA\). Дугой окружности с центром \(O\) и радиусом \(OA\) длину гипотенузы откладывают на оси \(x\); из полученной точки проводят перпендикуляр к оси \(x\) до проведённой прямой и получают вершину \(B\) следующего треугольника, катеты которого равны \(OA\) и 1. Повторяя этот шаг, находят гипотенузы: \[\begin{aligned} OA &= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}; \\ OB &= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}; \\ OC &= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2; \\ OD &= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}; \\ OE &= \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt{6}; \\ OF &= \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}. \end{aligned}\]
Построим этим способом все шесть треугольников.
Отрезки \(OB\), \(OD\) и \(OF\) — искомые, их длины — \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\); гипотенуза \(OC = 2\) ложится на деление 2 оси \(x\).
Ответ: отрезки длиной \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{7}\) — гипотенузы \(OB\), \(OD\), \(OF\) прямоугольных треугольников с катетами \(\sqrt{2}\) и 1, 2 и 1, \(\sqrt{6}\) и 1.
