Страница 74 номер 2.46, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ
а) Объём \(V\) конуса (рис. 2.12) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H\). Выразите из этой формулы высоту \(H\) и радиус основания \(R\).
б) Объём \(V\) шарового сектора (рис. 2.13) вычисляется по формуле \(V = \frac{2}{3}\pi R^2 h\). Выразите из этой формулы высоту сегмента \(h\) и радиус шара \(R\).
Все величины в этих формулах положительны.
а) \[\begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\pi R^2 H; \qquad | \cdot 3 \\ 3V &= \pi R^2 H; \qquad | : \pi R^2 \\ \frac{3V}{\pi R^2} &= H. \end{aligned}\] Выразим \(R\) из равенства \(3V = \pi R^2 H\): \[\begin{aligned} 3V &= \pi R^2 H; \qquad | : \pi H \\ \frac{3V}{\pi H} &= R^2. \end{aligned}\] Радиус \(R\) — положительное число, поэтому \(R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}\).
б) \[\begin{aligned} V &= \frac{2}{3}\pi R^2 h; \qquad | \cdot 3 \\ 3V &= 2\pi R^2 h; \qquad | : 2\pi R^2 \\ \frac{3V}{2\pi R^2} &= h. \end{aligned}\] Выразим \(R\) из равенства \(3V = 2\pi R^2 h\): \[\begin{aligned} 3V &= 2\pi R^2 h; \qquad | : 2\pi h \\ \frac{3V}{2\pi h} &= R^2. \end{aligned}\] Радиус \(R\) — положительное число, поэтому \(R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}\).
Ответ: а) \(H = \frac{3V}{\pi R^2}\), \(R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}\); б) \(h = \frac{3V}{2\pi R^2}\), \(R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}\).
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ
а) Объём \(V\) конуса (рис. 2.12) вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 H\). Выразите из этой формулы высоту \(H\) и радиус основания \(R\).
б) Объём \(V\) шарового сектора (рис. 2.13) вычисляется по формуле \(V = \frac{2}{3}\pi R^2 h\). Выразите из этой формулы высоту сегмента \(h\) и радиус шара \(R\).
Все величины в этих формулах положительны.
а) Выразим \(H\): \[\begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\pi R^2 H; \qquad | \cdot 3 \\ 3V &= \pi R^2 H; \qquad | : \pi R^2 \\ \frac{3V}{\pi R^2} &= H. \end{aligned}\] Выразим \(R\) из равенства \(3V = \pi R^2 H\): \[\begin{aligned} 3V &= \pi R^2 H; \qquad | : \pi H \\ \frac{3V}{\pi H} &= R^2. \end{aligned}\] Радиус \(R\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{3V}{\pi H}\), поэтому \(R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}\).
б) Выразим \(h\): \[\begin{aligned} V &= \frac{2}{3}\pi R^2 h; \qquad | \cdot 3 \\ 3V &= 2\pi R^2 h; \qquad | : 2\pi R^2 \\ \frac{3V}{2\pi R^2} &= h. \end{aligned}\] Выразим \(R\) из равенства \(3V = 2\pi R^2 h\): \[\begin{aligned} 3V &= 2\pi R^2 h; \qquad | : 2\pi h \\ \frac{3V}{2\pi h} &= R^2. \end{aligned}\] Радиус \(R\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{3V}{2\pi h}\), поэтому \(R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}\).
Ответ: а) \(H = \frac{3V}{\pi R^2}\), \(R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}\); б) \(h = \frac{3V}{2\pi R^2}\), \(R = \sqrt{\frac{3V}{2\pi h}}\).
