Страница 74 номер 2.47, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ИССЛЕДУЕМ
Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также является делителем.
1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.
2) Приведите пример натурального числа \(a\), делителем которого является число \(\sqrt{a}\).
3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа \(a\) меньше \(\sqrt{a}\), то другой — больше \(\sqrt{a}\).
4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа \(a\)? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?
1) Число 18: пары \(1 \cdot 18\), \(2 \cdot 9\), \(3 \cdot 6\); числа 4 и 5 — не делители 18, а следующий делитель 6 уже записан в паре с 3. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Число 36: пары \(1 \cdot 36\), \(2 \cdot 18\), \(3 \cdot 12\), \(4 \cdot 9\), \(6 \cdot 6\); число 5 — не делитель 36, а у делителя 6 частное равно ему самому, дальше пары повторяются. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Число 50: пары \(1 \cdot 50\), \(2 \cdot 25\), \(5 \cdot 10\); числа 3, 4, 6, 7, 8, 9 — не делители 50, а следующий делитель 10 уже записан в паре с 5. Делители числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
2) Если \(a = n^2\), где \(n\) — натуральное число, то \(\sqrt{a} = n\) и \(a = n \cdot n\), т. е. число \(\sqrt{a}\) — делитель числа \(a\). Например, при \(a = 36\): \(\sqrt{36} = 6\) и \(36 = 6 \cdot 6\).
3) Пусть \(d\) и \(q\) — пара делителей натурального числа \(a\), т. е. \(d \cdot q = a\), и \(d < \sqrt{a}\). Тогда \(q = \frac{a}{d}\). Так как \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\), то \(\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\).
У дробей \(\frac{a}{d}\) и \(\frac{a}{\sqrt{a}}\) числители равны и положительны, знаменатели тоже положительны, а знаменатель первой меньше: \(d < \sqrt{a}\). Из двух таких дробей больше та, у которой знаменатель меньше, поэтому \(q = \frac{a}{d} > \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\), т. е. \(q > \sqrt{a}\), что и требовалось доказать.
4) Точно так же, если один делитель пары больше \(\sqrt{a}\), то другой меньше \(\sqrt{a}\); если же один делитель равен \(\sqrt{a}\), то и другой равен \(\sqrt{a}\). Значит, в каждой паре хотя бы один делитель не превосходит \(\sqrt{a}\), и для нахождения всех делителей достаточно перебрать натуральные числа, не превосходящие \(\sqrt{a}\): каждый найденный делитель \(d\) даёт и парный ему делитель \(\frac{a}{d}\).
Для числа 144: \(\sqrt{144} = 12\), так как \(12^2 = 144\), — перебор до 12.
Для числа 238: \(15^2 = 225 < 238 < 256 = 16^2\), поэтому \(15 < \sqrt{238} < 16\), и перебор — до 15.
Ответ: 1) делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50; 2) например, \(a = 36\) (подходит любой квадрат натурального числа); 3) если \(d \cdot q = a\) и \(d < \sqrt{a}\), то \(q = \frac{a}{d} > \sqrt{a}\); 4) перебором натуральных чисел, не превосходящих \(\sqrt{a}\); для числа 144 — до 12, для числа 238 — до 15.
ИССЛЕДУЕМ
Когда вы находите перебором все делители некоторого натурального числа, удобно выписывать пары: делитель и соответствующее частное, которое также является делителем.
1) Пользуясь этим приёмом, найдите все делители числа: 18; 36; 50.
2) Приведите пример натурального числа \(a\), делителем которого является число \(\sqrt{a}\).
3) Докажите, что если один из пары делителей натурального числа \(a\) меньше \(\sqrt{a}\), то другой — больше \(\sqrt{a}\).
4) Перебором каких натуральных чисел можно ограничиться для нахождения всех делителей числа \(a\)? До какого числа следует осуществить перебор для нахождения всех делителей числа: 144; 238?
1) Перебираем натуральные числа 1, 2, 3, … и для каждого найденного делителя записываем в пару частное.
Число 18: пары \(1 \cdot 18\), \(2 \cdot 9\), \(3 \cdot 6\); числа 4 и 5 — не делители 18, а следующий делитель 6 уже записан в паре с 3. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Число 36: пары \(1 \cdot 36\), \(2 \cdot 18\), \(3 \cdot 12\), \(4 \cdot 9\), \(6 \cdot 6\); число 5 — не делитель 36, а у делителя 6 частное равно ему самому, дальше пары повторяются. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Число 50: пары \(1 \cdot 50\), \(2 \cdot 25\), \(5 \cdot 10\); числа 3, 4, 6, 7, 8, 9 — не делители 50, а следующий делитель 10 уже записан в паре с 5. Делители числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50.
2) Если \(a\) — квадрат натурального числа \(n\), т. е. \(a = n^2\), то \(\sqrt{a} = n\) и \(a = n \cdot n\), т. е. число \(\sqrt{a}\) — делитель числа \(a\). Например, при \(a = 36\): \(\sqrt{36} = 6\) и \(36 = 6 \cdot 6\).
3) Пусть \(d\) и \(q\) — пара делителей натурального числа \(a\), т. е. \(d \cdot q = a\), и \(d < \sqrt{a}\). Тогда \(q = \frac{a}{d}\). Так как \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\), то \(\frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\). У дробей \(\frac{a}{d}\) и \(\frac{a}{\sqrt{a}}\) числители равны и положительны, знаменатели тоже положительны, а знаменатель первой меньше: \(d < \sqrt{a}\). Из двух таких дробей больше та, у которой знаменатель меньше, поэтому \(q = \frac{a}{d} > \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}\), т. е. \(q > \sqrt{a}\), что и требовалось доказать.
4) Точно так же, если один делитель пары больше \(\sqrt{a}\), то другой меньше \(\sqrt{a}\); если же один делитель равен \(\sqrt{a}\), то и другой равен \(\sqrt{a}\). Значит, в каждой паре хотя бы один делитель не превосходит \(\sqrt{a}\), и для нахождения всех делителей достаточно перебрать натуральные числа, не превосходящие \(\sqrt{a}\): каждый найденный делитель \(d\) даёт и парный ему делитель \(\frac{a}{d}\).
Для числа 144: \(\sqrt{144} = 12\), так как \(12^2 = 144\), — перебор до 12.
Для числа 238: \(15^2 = 225 < 238 < 256 = 16^2\), поэтому \(15 < \sqrt{238} < 16\), и перебор — до 15.
Ответ: 1) делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; числа 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50; 2) например, \(a = 36\) (подходит любой квадрат натурального числа); 3) если \(d \cdot q = a\) и \(d < \sqrt{a}\), то \(q = \frac{a}{d} > \sqrt{a}\); 4) перебором натуральных чисел, не превосходящих \(\sqrt{a}\); для числа 144 — до 12, для числа 238 — до 15.
