Страница 73 номер 2.40, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.40—2.41)
а) Площадь \(S\) круга с радиусом \(r\) (рис. 2.10) вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Выразите из этой формулы радиус \(r\).
б) Запишите формулу для вычисления площади круга \(S\) по его диаметру \(d\). Выразите из этой формулы диаметр \(d\).
а) \[\begin{aligned} S &= \pi r^2; \qquad | : \pi \\ \frac{S}{\pi} &= r^2. \end{aligned}\] Радиус \(r\) — положительное число, поэтому \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\).
б) \(r = \frac{d}{2}\), поэтому \(S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\). \[\begin{aligned} S &= \frac{\pi d^2}{4}; \qquad | \cdot 4 \\ 4S &= \pi d^2; \qquad | : \pi \\ \frac{4S}{\pi} &= d^2. \end{aligned}\] Диаметр \(d\) — положительное число, поэтому \(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\).
Ответ: а) \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\); б) \(S = \frac{\pi d^2}{4}\), \(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\).
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.40—2.41)
а) Площадь \(S\) круга с радиусом \(r\) (рис. 2.10) вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Выразите из этой формулы радиус \(r\).
б) Запишите формулу для вычисления площади круга \(S\) по его диаметру \(d\). Выразите из этой формулы диаметр \(d\).
а) Выразим \(r^2\) из формулы площади круга: \[\begin{aligned} S &= \pi r^2; \qquad | : \pi \\ \frac{S}{\pi} &= r^2. \end{aligned}\] Радиус \(r\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{S}{\pi}\), поэтому \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\).
б) Радиус круга равен половине его диаметра: \(r = \frac{d}{2}\), поэтому \(S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\). Выразим из этой формулы \(d^2\): \[\begin{aligned} S &= \frac{\pi d^2}{4}; \qquad | \cdot 4 \\ 4S &= \pi d^2; \qquad | : \pi \\ \frac{4S}{\pi} &= d^2. \end{aligned}\] Диаметр \(d\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{4S}{\pi}\), поэтому \(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\).
Ответ: а) \(r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}\); б) \(S = \frac{\pi d^2}{4}\), \(d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}\).
