Страница 73 номер 2.41, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.40—2.41)
а) Площадь \(S\) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом \(a\) (рис. 2.11) вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2}{2}\). Выразите из этой формулы катет \(a\). Какой должна быть длина катета, чтобы площадь треугольника была равна 10 см\(^2\)? (Ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)
б) Сколько секунд будет падать сосулька с крыши 22-этажного дома, примерная высота которого 68 м? (Для вычислений воспользуйтесь формулой \(h = \frac{gt^2}{2}\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах, \(g\) — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с\(^2\).)
а) \[\begin{aligned} S &= \frac{a^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ 2S &= a^2. \end{aligned}\] Катет \(a\) — положительное число, поэтому \(a = \sqrt{2S}\).
При \(S = 10\) см\(^2\): \(a = \sqrt{2 \cdot 10} = \sqrt{20}\) (см).
Так как \(4{,}4^2 = 19{,}36 < 20 < 20{,}25 = 4{,}5^2\), то \(4{,}4 < \sqrt{20} < 4{,}5\); так как \(4{,}45^2 = 19{,}8025 < 20\), то \(\sqrt{20} > 4{,}45\) и \(a = \sqrt{20} \approx 4{,}5\) (см).
б)
Дано:
\(h = 68\) м — высота дома
\(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\)
Найти: \(t\) — время падения сосульки.
Решение:
\[\begin{aligned} h &= \frac{gt^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ 2h &= gt^2; \qquad | : g \\ \frac{2h}{g} &= t^2. \end{aligned}\] Время \(t\) — положительное число, поэтому \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).
\(t^2 = \frac{2 \cdot 68}{9{,}8} = \frac{136}{9{,}8} \approx 13{,}88\).
Так как \(3{,}7^2 = 13{,}69 < 13{,}88 < 14{,}44 = 3{,}8^2\), то \(3{,}7 < t < 3{,}8\); так как \(3{,}75^2 = 14{,}0625 > 13{,}88\), то \(t < 3{,}75\), т. е. \(t \approx 3{,}7\) с.
Так как \(t > 3{,}5\), то до целых секунд \(t \approx 4\) с.
Ответ: а) \(a = \sqrt{2S}\); \(a \approx 4{,}5\) см; б) примерно 4 с.
ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (2.40—2.41)
а) Площадь \(S\) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом \(a\) (рис. 2.11) вычисляется по формуле \(S = \frac{a^2}{2}\). Выразите из этой формулы катет \(a\). Какой должна быть длина катета, чтобы площадь треугольника была равна 10 см\(^2\)? (Ответ дайте приближённо с одним знаком после запятой.)
б) Сколько секунд будет падать сосулька с крыши 22-этажного дома, примерная высота которого 68 м? (Для вычислений воспользуйтесь формулой \(h = \frac{gt^2}{2}\), где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах, \(g\) — ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с\(^2\).)
а) Выразим катет \(a\) из формулы \(S = \frac{a^2}{2}\): \[\begin{aligned} S &= \frac{a^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ 2S &= a^2. \end{aligned}\] Катет \(a\) — положительное число, квадрат которого равен \(2S\), поэтому \(a = \sqrt{2S}\).
При \(S = 10\) см\(^2\) получаем \(a = \sqrt{2 \cdot 10} = \sqrt{20}\) (см). Так как \(4{,}4^2 = 19{,}36 < 20 < 20{,}25 = 4{,}5^2\), то \(4{,}4 < \sqrt{20} < 4{,}5\); так как \(4{,}45^2 = 19{,}8025 < 20\), то \(\sqrt{20} > 4{,}45\), и с одним знаком после запятой \(a = \sqrt{20} \approx 4{,}5\) (см).
б)
Дано:
\(h = 68\) м — высота дома
\(g \approx 9{,}8\) м/с\(^2\)
Найти: \(t\) — время падения сосульки.
Решение:
Выразим \(t\) из формулы \(h = \frac{gt^2}{2}\): \[\begin{aligned} h &= \frac{gt^2}{2}; \qquad | \cdot 2 \\ 2h &= gt^2; \qquad | : g \\ \frac{2h}{g} &= t^2. \end{aligned}\] Время \(t\) — положительное число, квадрат которого равен \(\frac{2h}{g}\), поэтому \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\).
При \(h = 68\) и \(g = 9{,}8\) получаем \(t^2 = \frac{2 \cdot 68}{9{,}8} = \frac{136}{9{,}8} \approx 13{,}88\). Так как \(3{,}7^2 = 13{,}69 < 13{,}88 < 14{,}44 = 3{,}8^2\), то \(3{,}7 < t < 3{,}8\); так как \(3{,}75^2 = 14{,}0625 > 13{,}88\), то \(t < 3{,}75\), т. е. \(t \approx 3{,}7\) с. Так как \(t > 3{,}5\), то до целых секунд \(t \approx 4\) с.
Ответ: а) \(a = \sqrt{2S}\); \(a \approx 4{,}5\) см; б) примерно 4 с.
