Вопросы после параграфа 2.2 на странице 70, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева

Построим на клетчатой бумаге квадрат \(ABCD\) со стороной 1 (две клетки) и на его диагонали \(AC\) как на стороне — квадрат \(ACEF\):

Диагонали \(AE\) и \(CF\) квадрата \(ACEF\) пересекаются в точке \(D\) и делят его на четыре треугольника \(ACD\), \(CED\), \(EFD\) и \(FAD\). Каждый из них равен половине квадрата \(ABCD\), т. е. имеет площадь \(\frac{1}{2}\). Поэтому площадь квадрата \(ACEF\) равна \(4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) — она вдвое больше площади квадрата \(ABCD\).

Обозначим длину стороны квадрата \(ACEF\) буквой \(a\). Тогда \(a^2 = 2\), и сторона квадрата площадью 2 равна \(\sqrt{2}\). Это число иррациональное: нет ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен 2.

Ответ: площадь нового квадрата равна 2, длина его стороны равна \(\sqrt{2}\).

Возьмём натуральные числа 3, 5, 6 и 10. Квадратами целых чисел они не являются, так как каждое из них заключено между квадратами двух соседних натуральных чисел: \(1^2 < 3 < 2^2\), \(2^2 < 5 < 6 < 3^2\), \(3^2 < 10 < 4^2\). Квадратами дробных чисел они тоже не являются: если \(\frac{p}{q}\) — несократимая дробь со знаменателем, не равным 1, то и дробь \(\frac{p^2}{q^2}\) несократима и её знаменатель не равен 1, поэтому она не равна натуральному числу. Значит, ни одно из этих чисел нельзя представить в виде квадрата рационального числа.

Каждое из них — квадрат иррационального числа, квадратного корня из него: \((\sqrt{3})^2 = 3\), \((\sqrt{5})^2 = 5\), \((\sqrt{6})^2 = 6\), \((\sqrt{10})^2 = 10\).

Ответ: например, 3, 5, 6 и 10: \((\sqrt{3})^2 = 3\), \((\sqrt{5})^2 = 5\), \((\sqrt{6})^2 = 6\), \((\sqrt{10})^2 = 10\), где \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{10}\) — иррациональные числа.

Латинская приставка ir- означает отрицание. Иррациональные числа — это числа, не являющиеся рациональными, т. е. не являющиеся ни целыми, ни дробными.

Ответ: приставка ir- означает отрицание: иррациональное число — это число, не являющееся рациональным.

Оценки \(\sqrt{42}\) получаются сравнением квадратов: если числа \(a\) и \(b\) положительные и \(a^2 < b^2\), то \(a < b\).

Так как \(6^2 < 42 < 7^2\), то \(6 < \sqrt{42} < 7\), т. е. \(\sqrt{42} \approx 6\) с недостатком и \(\sqrt{42} \approx 7\) с избытком.

Так как \(6{,}4^2 = 40{,}96 < 42\) и \(6{,}5^2 = 42{,}25 > 42\), то \(6{,}4 < \sqrt{42} < 6{,}5\).

Продолжая возводить в квадрат десятичные дроби, получаем всё более точные оценки: \[\begin{aligned} 6{,}48 &< \sqrt{42} < 6{,}49; \\ 6{,}480 &< \sqrt{42} < 6{,}481; \\ 6{,}4807 &< \sqrt{42} < 6{,}4808. \end{aligned}\]

В каждой оценке число слева — десятичное приближение \(\sqrt{42}\) с недостатком, число справа — с избытком.

Ответ: \(6 < \sqrt{42} < 7\); \(6{,}4 < \sqrt{42} < 6{,}5\); \(6{,}48 < \sqrt{42} < 6{,}49\); \(6{,}480 < \sqrt{42} < 6{,}481\); \(6{,}4807 < \sqrt{42} < 6{,}4808\); десятичные приближения \(\sqrt{42}\) с недостатком и с избытком: с одним знаком после запятой — 6,4 и 6,5, с двумя — 6,48 и 6,49, с тремя — 6,480 и 6,481, с четырьмя — 6,4807 и 6,4808.

Оценим числа квадратами десятичных дробей (если числа \(a\) и \(b\) положительные и \(a^2 < b^2\), то \(a < b\)): \[\begin{aligned} 2{,}2^2 &= 4{,}84 < 5 < 5{,}0625 = 2{,}25^2; \\ 2{,}6^2 &= 6{,}76 < 7 < 7{,}0225 = 2{,}65^2; \\ 3{,}15^2 &= 9{,}9225 < 10 < 10{,}24 = 3{,}2^2. \end{aligned}\]

Значит, \(2{,}2 < \sqrt{5} < 2{,}25\), \(2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}65\), \(3{,}15 < \sqrt{10} < 3{,}2\), и до десятых \(\sqrt{5} \approx 2{,}2\), \(\sqrt{7} \approx 2{,}6\), \(\sqrt{10} \approx 3{,}2\).

Противоположные им числа \(-\sqrt{5}\), \(-\sqrt{7}\), \(-\sqrt{10}\) изображаются точками, которые лежат слева от нуля на тех же расстояниях от него: \(-\sqrt{5} \approx -2{,}2\), \(-\sqrt{7} \approx -2{,}6\), \(-\sqrt{10} \approx -3{,}2\). Покажем все шесть чисел на координатной прямой:

Ответ: \(\sqrt{5} \approx 2{,}2\), \(-\sqrt{5} \approx -2{,}2\); \(\sqrt{7} \approx 2{,}6\), \(-\sqrt{7} \approx -2{,}6\); \(\sqrt{10} \approx 3{,}2\), \(-\sqrt{10} \approx -3{,}2\).