Страница 98 номер 2.131, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ. Рациональным или иррациональным является значение выражения:
а) \(10\sqrt{3}+4-\sqrt{300}\);
б) \(\sqrt{162}-10\sqrt{2}+\sqrt{27}\);
в) \(3\sqrt{28}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}\);
г) \(\sqrt{48}-5-4\sqrt{3}\)?
а) \[\begin{aligned} &10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300} = 10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{100 \cdot 3} = {} \\ &= 10\sqrt{3} + 4 - 10\sqrt{3} = 4. \end{aligned}\]
Значение выражения — рациональное число 4.
б) \[\begin{aligned} &\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27} = \sqrt{81 \cdot 2} - 10\sqrt{2} + \sqrt{9 \cdot 3} = {} \\ &= 9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - \sqrt{2}. \end{aligned}\]
Допустим, что \(3\sqrt{3} - \sqrt{2} = r\), где \(r\) — рациональное число. Тогда \((3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = r^2\), а \[(3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 27 - 6\sqrt{6} + 2 = 29 - 6\sqrt{6}.\]
Значит, \(29 - 6\sqrt{6} = r^2\), откуда \(\sqrt{6} = \frac{29 - r^2}{6}\) — рациональное число. Но 6 не является квадратом целого числа (\(2^2 < 6 < 3^2\)), поэтому \(\sqrt{6}\) — число иррациональное. Получили противоречие; значит, число \(3\sqrt{3} - \sqrt{2}\) иррациональное.
в) \[\begin{aligned} &3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{4 \cdot 7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = {} \\ &= 6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}. \end{aligned}\]
Допустим, что \(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = r\), где \(r\) — рациональное число. Тогда \((8\sqrt{7} - 2\sqrt{5})^2 = r^2\), а \[(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5})^2 = 448 - 32\sqrt{35} + 20 = 468 - 32\sqrt{35}.\]
Значит, \(468 - 32\sqrt{35} = r^2\), откуда \(\sqrt{35} = \frac{468 - r^2}{32}\) — рациональное число. Но 35 не является квадратом целого числа (\(5^2 < 35 < 6^2\)), поэтому \(\sqrt{35}\) — число иррациональное. Получили противоречие; значит, число \(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\) иррациональное.
г) \[\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} - 5 - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 5 - 4\sqrt{3} = -5.\]
Значение выражения — рациональное число \(-5\).
Ответ: а) рациональным, оно равно 4; б) иррациональным; в) иррациональным; г) рациональным, оно равно \(-5\).
РАССУЖДАЕМ. Рациональным или иррациональным является значение выражения:
а) \(10\sqrt{3}+4-\sqrt{300}\);
б) \(\sqrt{162}-10\sqrt{2}+\sqrt{27}\);
в) \(3\sqrt{28}+2\sqrt{7}-2\sqrt{5}\);
г) \(\sqrt{48}-5-4\sqrt{3}\)?
Упростим каждое выражение: вынесем множители из-под знака корня и приведём подобные радикалы.
а) \[\begin{aligned} &10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{300} = 10\sqrt{3} + 4 - \sqrt{100 \cdot 3} = {} \\ &= 10\sqrt{3} + 4 - 10\sqrt{3} = 4. \end{aligned}\]
Значение выражения — рациональное число 4.
б) \[\begin{aligned} &\sqrt{162} - 10\sqrt{2} + \sqrt{27} = \sqrt{81 \cdot 2} - 10\sqrt{2} + \sqrt{9 \cdot 3} = {} \\ &= 9\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - \sqrt{2}. \end{aligned}\]
Докажем от противного, что число \(3\sqrt{3} - \sqrt{2}\) иррациональное. Допустим, что \(3\sqrt{3} - \sqrt{2} = r\), где \(r\) — рациональное число. Тогда равны и квадраты этих чисел: \((3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = r^2\). По формуле квадрата разности \[(3\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 27 - 6\sqrt{6} + 2 = 29 - 6\sqrt{6}.\]
Значит, \(29 - 6\sqrt{6} = r^2\), откуда \(\sqrt{6} = \frac{29 - r^2}{6}\). Справа стоит рациональное число: произведение, разность и частное рациональных чисел — рациональные числа. Но 6 не является квадратом целого числа (\(2^2 < 6 < 3^2\)), поэтому \(\sqrt{6}\) — число иррациональное. Получили противоречие; значит, число \(3\sqrt{3} - \sqrt{2}\) иррациональное.
в) \[\begin{aligned} &3\sqrt{28} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 3\sqrt{4 \cdot 7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = {} \\ &= 6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = 8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}. \end{aligned}\]
Так же докажем, что число \(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\) иррациональное. Допустим, что \(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5} = r\), где \(r\) — рациональное число. Тогда \((8\sqrt{7} - 2\sqrt{5})^2 = r^2\), а по формуле квадрата разности \[(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5})^2 = 448 - 32\sqrt{35} + 20 = 468 - 32\sqrt{35}.\]
Значит, \(468 - 32\sqrt{35} = r^2\), откуда \(\sqrt{35} = \frac{468 - r^2}{32}\) — рациональное число. Но 35 не является квадратом целого числа (\(5^2 < 35 < 6^2\)), поэтому \(\sqrt{35}\) — число иррациональное. Получили противоречие; значит, число \(8\sqrt{7} - 2\sqrt{5}\) иррациональное.
г) \[\sqrt{48} - 5 - 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} - 5 - 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 5 - 4\sqrt{3} = -5.\]
Значение выражения — рациональное число \(-5\).
Ответ: а) рациональным, оно равно 4; б) иррациональным; в) иррациональным; г) рациональным, оно равно \(-5\).
