Страница 94 номер 2.119, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (2.118—2.119)
Расположите в порядке возрастания:
а) \(3\sqrt{2}\); \(2\sqrt{3}\) и 4; в) \(4\sqrt{3}\); \(2\sqrt{10}\) и \(5\sqrt{2}\);
б) 5; \(2\sqrt{7}\) и \(3\sqrt{3}\); г) \(3\sqrt{6}\); \(6\sqrt{2}\) и \(2\sqrt{13}\).
Все множители перед корнями положительны.
а) \[\begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}; \\ 2\sqrt{3} &= \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}; \\ 4 &= \sqrt{16}. \end{aligned}\] Так как \(12 < 16 < 18\), то \(\sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{18}\), то есть \(2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}\).
б) \[\begin{aligned} 5 &= \sqrt{25}; \\ 2\sqrt{7} &= \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}; \\ 3\sqrt{3} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}. \end{aligned}\] Так как \(25 < 27 < 28\), то \(\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{28}\), то есть \(5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}\).
в) \[\begin{aligned} 4\sqrt{3} &= \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}; \\ 2\sqrt{10} &= \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}; \\ 5\sqrt{2} &= \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}. \end{aligned}\] Так как \(40 < 48 < 50\), то \(\sqrt{40} < \sqrt{48} < \sqrt{50}\), то есть \(2\sqrt{10} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}\).
г) \[\begin{aligned} 3\sqrt{6} &= \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}; \\ 6\sqrt{2} &= \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}; \\ 2\sqrt{13} &= \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}. \end{aligned}\] Так как \(52 < 54 < 72\), то \(\sqrt{52} < \sqrt{54} < \sqrt{72}\), то есть \(2\sqrt{13} < 3\sqrt{6} < 6\sqrt{2}\).
Ответ: а) \(2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}\); б) \(5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}\); в) \(2\sqrt{10} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}\); г) \(2\sqrt{13} < 3\sqrt{6} < 6\sqrt{2}\).
РАССУЖДАЕМ (2.118—2.119)
Расположите в порядке возрастания:
а) \(3\sqrt{2}\); \(2\sqrt{3}\) и 4; в) \(4\sqrt{3}\); \(2\sqrt{10}\) и \(5\sqrt{2}\);
б) 5; \(2\sqrt{7}\) и \(3\sqrt{3}\); г) \(3\sqrt{6}\); \(6\sqrt{2}\) и \(2\sqrt{13}\).
Внесём множители под знак корня (все они положительны), а целое число запишем как корень из его квадрата. Из двух корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число: квадраты этих корней равны подкоренным числам, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.
а) \[\begin{aligned} 3\sqrt{2} &= \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}; \\ 2\sqrt{3} &= \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}; \\ 4 &= \sqrt{16}. \end{aligned}\] Так как \(12 < 16 < 18\), то \(\sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{18}\), то есть \(2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}\).
б) \[\begin{aligned} 5 &= \sqrt{25}; \\ 2\sqrt{7} &= \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}; \\ 3\sqrt{3} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}. \end{aligned}\] Так как \(25 < 27 < 28\), то \(\sqrt{25} < \sqrt{27} < \sqrt{28}\), то есть \(5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}\).
в) \[\begin{aligned} 4\sqrt{3} &= \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}; \\ 2\sqrt{10} &= \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{40}; \\ 5\sqrt{2} &= \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}. \end{aligned}\] Так как \(40 < 48 < 50\), то \(\sqrt{40} < \sqrt{48} < \sqrt{50}\), то есть \(2\sqrt{10} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}\).
г) \[\begin{aligned} 3\sqrt{6} &= \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}; \\ 6\sqrt{2} &= \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}; \\ 2\sqrt{13} &= \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}. \end{aligned}\] Так как \(52 < 54 < 72\), то \(\sqrt{52} < \sqrt{54} < \sqrt{72}\), то есть \(2\sqrt{13} < 3\sqrt{6} < 6\sqrt{2}\).
Ответ: а) \(2\sqrt{3} < 4 < 3\sqrt{2}\); б) \(5 < 3\sqrt{3} < 2\sqrt{7}\); в) \(2\sqrt{10} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}\); г) \(2\sqrt{13} < 3\sqrt{6} < 6\sqrt{2}\).
