Страница 94 номер 2.118, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Дорофеева
РАССУЖДАЕМ (2.118—2.119)
Сравните значения выражений:
а) \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{8}\); в) \(2\sqrt{6}\) и \(3\sqrt{3}\); д) \(5\sqrt{\frac{3}{5}}\) и \(3\sqrt{\frac{5}{3}}\);
б) \(\sqrt{45}\) и \(3\sqrt{5}\); г) \(2\sqrt{\frac{1}{8}}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\); е) \(\frac{1}{3}\sqrt{20}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{8}\).
Все множители перед корнями положительны.
а) \[2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}.\] Так как \(12 > 8\), то \(\sqrt{12} > \sqrt{8}\), то есть \(2\sqrt{3} > \sqrt{8}\).
б) \[3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}.\] Подкоренные числа равны, значит, \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).
в) \[\begin{aligned} 2\sqrt{6} &= \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}; \\ 3\sqrt{3} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}. \end{aligned}\] Так как \(24 < 27\), то \(\sqrt{24} < \sqrt{27}\), то есть \(2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}\).
г) \[\begin{aligned} 2\sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}; \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} &= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\).
д) \[\begin{aligned} 5\sqrt{\frac{3}{5}} &= \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{15}; \\ 3\sqrt{\frac{5}{3}} &= \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{15}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}\).
е) \[\begin{aligned} \frac{1}{3}\sqrt{20} &= \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{9}}; \\ \frac{1}{2}\sqrt{8} &= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 8} = \sqrt{2}. \end{aligned}\] Так как \(2 = \frac{18}{9}\) и \(\frac{20}{9} > \frac{18}{9}\), то \(\sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{2}\), то есть \(\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}\).
Ответ: а) \(2\sqrt{3} > \sqrt{8}\); б) \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\); в) \(2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}\); г) \(2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\); д) \(5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}\); е) \(\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}\).
РАССУЖДАЕМ (2.118—2.119)
Сравните значения выражений:
а) \(2\sqrt{3}\) и \(\sqrt{8}\); в) \(2\sqrt{6}\) и \(3\sqrt{3}\); д) \(5\sqrt{\frac{3}{5}}\) и \(3\sqrt{\frac{5}{3}}\);
б) \(\sqrt{45}\) и \(3\sqrt{5}\); г) \(2\sqrt{\frac{1}{8}}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\); е) \(\frac{1}{3}\sqrt{20}\) и \(\frac{1}{2}\sqrt{8}\).
Внесём множители под знак корня (все они положительны) и сравним подкоренные числа. Из двух корней из положительных чисел больше тот, у которого больше подкоренное число: квадраты этих корней равны подкоренным числам, а из двух положительных чисел больше то, квадрат которого больше.
а) \[2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}.\] Так как \(12 > 8\), то \(\sqrt{12} > \sqrt{8}\), то есть \(2\sqrt{3} > \sqrt{8}\).
б) \[3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}.\] Подкоренные числа равны, значит, \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).
в) \[\begin{aligned} 2\sqrt{6} &= \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}; \\ 3\sqrt{3} &= \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}. \end{aligned}\] Так как \(24 < 27\), то \(\sqrt{24} < \sqrt{27}\), то есть \(2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}\).
г) \[\begin{aligned} 2\sqrt{\frac{1}{8}} &= \sqrt{4 \cdot \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{1}{2}}; \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} &= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 2} = \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\).
д) \[\begin{aligned} 5\sqrt{\frac{3}{5}} &= \sqrt{25 \cdot \frac{3}{5}} = \sqrt{15}; \\ 3\sqrt{\frac{5}{3}} &= \sqrt{9 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt{15}. \end{aligned}\] Подкоренные числа равны, значит, \(5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}\).
е) \[\begin{aligned} \frac{1}{3}\sqrt{20} &= \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{9}}; \\ \frac{1}{2}\sqrt{8} &= \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 8} = \sqrt{2}. \end{aligned}\] Так как \(2 = \frac{18}{9}\) и \(\frac{20}{9} > \frac{18}{9}\), то \(\sqrt{\frac{20}{9}} > \sqrt{2}\), то есть \(\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}\).
Ответ: а) \(2\sqrt{3} > \sqrt{8}\); б) \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\); в) \(2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}\); г) \(2\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}\sqrt{2}\); д) \(5\sqrt{\frac{3}{5}} = 3\sqrt{\frac{5}{3}}\); е) \(\frac{1}{3}\sqrt{20} > \frac{1}{2}\sqrt{8}\).
